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#2 03-11-2017 11:09:13
- Fred
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Re : dérivée d'un élément de D'
Bonjour
Il y en a une dans un exercice de de cette feuille. Je ne pense pas qu'on puisse faire vraiment plus simple.
F
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#3 03-11-2017 12:24:49
- bib
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Re : dérivée d'un élément de D'
Merci c'est bien celle que j'avais. S'il vous plaît, comment prouver le lemme utilisé dans la preuve? Le lemme dit ceci: soit $u \in \mathcal{D}(I)$. Il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ tel que $v'=u$ si et seulement si $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} u=0$. Dans ces cas, $v$ est unique.
Merci par avance pour votre aide.
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#5 03-11-2017 19:10:30
- bib
- Membre
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Re : dérivée d'un élément de D'
D'accord. Alors on doit montrer l'équivalence suivante:
$$
(\exists v \in \mathcal{D}(]a,b[): v'=u) <=> (\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0).
$$
On commence par montré l'implication dans le sens $=>$. On suppose qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. En intégrant les deux membres, on a $\displaystyle\int_a^b v'(x) dx = \displaystyle\int_a^b u(x) dx$ qui implique que $v(b)-v(a)= \displaystyle\int_a^b u(x) dx$. Comme $v \in \mathcal{D}(]a,b[)$, on a $v(a)=v(b)=0$ ainsi, $\displaystyle\int_a^b u(x) dx =0$.
On montre maintenant l'implication inverse $<=$: on suppose que $\displaystyle\int_a^b u(x) dx=0$ et on montre qu'il existe $v \in \mathcal{D}(I)$ telle que $v'=u$. Ce qui me pose difficulté c'est comment on procède pour montrer qu'un tel $v$ existe? S'il vous plaît.
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#7 03-11-2017 20:22:45
- bib
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Re : dérivée d'un élément de D'
OK! J'ai compris le truc. Donc on résout l'équation $v'=u$. $u$ est continue et le coefficient de $v'$ est la fonction continue $1$ donc $v$ existe. Reste à prouver que ce $v$ est bien une fonction teste. Pour ça on intègre les deux membres de l'équation, et en utilisant l'hypothèse on obtient que $v(b)-v(a)=0$ donc $v(b)=v(a)$. Mais comment est ce que $v(a)=v(b)$ implique que $v \in \mathcal{D}(I)$? S'il vous plaît.
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#10 06-12-2017 20:44:34
- bib
- Membre
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Re : dérivée d'un élément de D'
Bonjour,
j'essaye de montrer que sur tout intervalle $I$ de $\mathbb{R}$,toute distribution sur $I$ admet une primitive.
En lisant la preuve du feuillet d'exo sur bibmaths, on lis ceci: si $T \in \mathcal{D}'(I)$ et $S$ une éventuelle primitive de $S$, on a
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(I): <T,\varphi>= <S',\varphi>= - <S,\varphi>.
$$
Si toute fonction teste était la dérivée d'une fonction teste, alors ce serait parfait. Je veux comprendre pourquoi ça serait parfait?
Moi je comprend que ça serait parfait car, si toute fonction teste était la primitive d'une fonction teste, cela voudrait dire que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(I)$, il existe $\psi \in \mathcal{D}(I)$ telle que $\varphi= \psi'$. Donc on écrit
$$
<T,\varphi>= <T,\psi'>= - <T',\psi>.
$$
Le problème est: est ce qu'on a le droit d'écrire l'égalité $<T,\psi'>= - <T',\psi>$ sans savoir si $T'$ existe? S'il vous plaît.
Dernière modification par bib (06-12-2017 20:55:06)
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#12 06-12-2017 22:20:33
- bib
- Membre
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Re : dérivée d'un élément de D'
Il s'agit de l'exercice 5 de la feuille http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo
où la question est justement de prouver que la dérivée d'une distribution existe toujours. Il y a une phrase dans la solution que je n'ai pas bien compris, c'est que si toute fonction teste était la dérivée d'une fonction teste, ça serait parfait pour conclure.
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#13 06-12-2017 22:30:05
- Fred
- Administrateur
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Re : dérivée d'un élément de D'
Je ne comprends toujours pas. Dans cet exercice, on ne veut pas démontrer que la dérivée d'une distribution existe toujours. On veut démontrer que toute distribution admet une primitive!!!!
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#15 06-12-2017 23:21:05
- Fred
- Administrateur
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Re : dérivée d'un élément de D'
Pour que $S$ soit une primitive de $T$, on doit nécessairement avoir $\langle S,\phi'\rangle=-\langle T,\phi\rangle$. Si toute fonction test était la dérivée d'une fonction test, ie si pour toute fonction test $\psi$ je pouvais trouver $\phi$ telle que $\psi=\phi'$ , alors je poserai $\langle S,\psi\rangle=-\langle T,\phi\rangle$ et j'aurais fini...
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