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#1 01-11-2017 16:57:28

bib
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(log |x|)'

Bonjour,
je lis que la dérivée au sens des distributions de $\log |x|$ est $vp \dfrac{1}{x}$.
Ma question est comment montrer déjà que $\log|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Elle n'est même pas définie en 0 donc je suis perturbée, je ne vois pas comment on montrer qu'elle est $L^1_{loc}$ sur $\mathbb{R}$ tout entier.
Merci par avance pour votre aide.

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#2 01-11-2017 18:26:17

Fred
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Re : (log |x|)'

Certes, $\log|x|$ n'est pas définie en $0$, mais quand même, tu sais calculer $\int_0^1 \log(x)$ par exemple....

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#3 01-11-2017 19:39:58

bib
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Re : (log |x|)'

Oui, je sais la calculer. O a
$$
\displaystyle\int_0^1 \log(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^1 \log(x) dx = -1.
$$
Ma question est: comment on montre rigouteusement que $\log|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$? S'il vous plaît.

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#4 01-11-2017 20:54:04

Fred
Administrateur
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Re : (log |x|)'

Et bien, en vérifiant que pour tout segment $[a,b]$, l'intégrale $\int_a^b |\log|x||dx$ converge. Si $[a,b]$ ne contient pas $0$, c'est trivial. Si $[a,b]$ contient 0, tu viens presque de le faire...

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#5 01-11-2017 22:15:15

bib
Membre
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Re : (log |x|)'

D'accord, c'est réglé pour ce point. Je cherche maintenant à calculer $\log|x|$ au sens des distributions. Puisque $\log |x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ alors elle définie une distribution sur $\mathbb{R}$ par:
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\infty}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log(x) \varphi(x) dx.
$$
et comme $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on écrit
$$
<\log|x|,\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+a} \log(x) \varphi(x) dx).
$$
Je veux appliquer le théorème des sauts mais je ne sais pas comment. Est-ce qu'on peut appeler le point $x=0$ un saut or que $\log|x|$ n'est même définie au point $x=0$? S'il vous plaît.

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#6 02-11-2017 06:16:34

Fred
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Re : (log |x|)'

Tu ne peux pas appliquer le théorème des sauts car ta fonction n'admet pas de limite à droite et à gauche en 0. Il faut que tu fasses une ipp.

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#7 02-11-2017 10:01:15

bib
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Re : (log |x|)'

Ok, alors voici ce que j'ai fait. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, alors $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On a:
$$
<(\log|x|)',\varphi>=-<\log|x|,\varphi'> = -\lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx)
$$
On applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx$. On a:
$$
\displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx= [\log(-x) \varphi(x)]_{-a}^{\epsilon}+ \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \log(-x) \varphi'(x) dx = -\lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Puis on applique l'ipp pour calculer $\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx$. On trouve
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= [\log(x) \varphi(x)]_{\epsilon}^a -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
donc
$$
-\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \log(x) \varphi'(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\log(\epsilon) \varphi(\epsilon))+ \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
$$
Donc
$$
<(\log|x|)',\varphi>= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(x)}{x}dx - \displaystyle\int_{-a}^{\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx)
$$
Je n'obtiens pas $vp \dfrac{1}{x}$. Où est le problème? S'il vous plaît.

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#8 02-11-2017 10:14:16

Fred
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Re : (log |x|)'

Ça me semble assez clair ! Tu t'es trompéede signe quelque part !

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#9 02-11-2017 10:20:24

bib
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Re : (log |x|)'

Oui c'est ce que je pensais, mais j'ai refait les calculs et je trouve les même signes à chaque fois

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#10 02-11-2017 11:18:27

Fred
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Re : (log |x|)'

Refais les encore alors (c'est la partie négative qui ne convient pas...)

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#11 02-11-2017 12:26:01

bib
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Re : (log |x|)'

Ah c'est réglé, j'ai trouvé l'erreur. Merci beaucoup.

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#12 04-11-2017 20:08:00

bib
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Re : (log |x|)'

S'il vous plaît, la distribution que définie $\log|x|$ sur $\mathbb{R}$ est pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$:
$$
<\log|x|,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$
On écrit
$$
\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx= \lim_{\epsilon \to 0} (\displaystyle\int_{-\infty}^{-\epsilon} \log(-x) dx + \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \log|x| \varphi(x) dx
$$

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx=0$?

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#13 05-11-2017 00:13:37

Fred
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Re : (log |x|)'

C'est presque évident...ou alors applique le théorème de convergence dominée

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#14 05-11-2017 12:57:56

bib
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Re : (log |x|)'

Désolée ce n'est pas du tout évident pour moi, je suis complétement bloquée sur ce point. Pourquoi c'est évident s'il vous plaît? Ou bien comment appliquer la convergence dominée ici? Merci de m'aider sur point

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#15 05-11-2017 19:45:22

Fred
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Re : (log |x|)'

Parce que si tu as une fonction intégrable $f$ disons sur $[a,b]$, on a toujours $\int_a^{a+\epsilon}f(t)dt\to 0$. Ceci se démontre en appliquant le théorème de convergence dominée à $f\mathbf 1_{[a,a+\epsilon]}$.

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#16 05-11-2017 19:57:05

bib
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Re : (log |x|)'

Je n'arrive pas à voir le lien avec $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| \varphi(x) dx$. Qui joue le rôle de $a$? et qui joue le rôle de $\epsilon$? S'il vous plaît.

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#17 05-11-2017 20:27:17

Fred
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Re : (log |x|)'

Je pense que si tu réfléchis 5 minutes de plus, tu vas trouver toute seule!!!

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#18 05-11-2017 20:44:13

bib
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Re : (log |x|)'

$\displaystyle\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \log|x| dx= \displaystyle\int_{-\epsilon}^{2\epsilon - \epsilon} \log|x|$ donc la limite est nulle. Mais vous, vous avez intégrer entre $a$ et $a+\epsilon$ et là on ajoute pas $\epsilon$ mais $2 \epsilon$! C'est pareil? S'il vous plaît.

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#19 05-11-2017 20:48:14

Fred
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Re : (log |x|)'

Ou bien tu fais la même méthode avec le théorème de convergence dominée, ou bien tu coupes l'intégrale en deux en 0!!! Quand même, l'effort à faire ne me semble pas insurmontable!

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#20 05-11-2017 20:49:59

bib
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Re : (log |x|)'

Ahhh ok!! On coupe l'intégrale en 0! J'avais peur de couper en 0 car $\log|x|$ n'est pas définie en 0. Merci beaucoup!

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#21 06-11-2017 15:27:13

bib
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Re : (log |x|)'

Bonjour,
j'ai une question un peu bête mais je la pose quand même.
$\log|x|$ est définie sur $\mathbb{R}^\star$, elle n'est pas définie au point $x=0$ alors comment elle peut être intégrable sur $\mathbb{R}$ tout entier? S'il vous plaît.

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