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bobbycrazy

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polynome second degré

Bonjour,

Je bute sur la question 4, quelqu'un peut il m'aider ?
merci pour vos explications et de votre aide.
j'ai trouvé les réponses 1,2,3.
bonne soirée

On souhaite résoudre l'équation de degré 4 suivante
2x^4 +x²-3=0                   (1)
1) On pose X =x² Quelle équation en X obtient-on ?
2) Résoudre l'équation obtenue. On note X1 et X2 ses
solutions.
3) En résolvant x²=X1 puis x²=X2, determiner les
solutions de l'équation (1).
4) En déduire que l'on peut écrire
2x4 + x² - 3 = 2 (x - 1) (x + 1) (x² +ax + b)
où a et b sont des nombres à déterminer

Fred

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Re : polynome second degré

Bonjour,

  Je ne sais pas trop en quelle classe tu es ni où est ce que tu en es de la factorisation des polynômes quand on connait leurs racines.
Mais pour répondre à la dernière question, as-tu pensé simplement à développer $2(x-1)(x^2+ax+b)$?
Tu vas trouver un polynôme de degré 4, et tu dois procéder par identification. Quelles valeurs faut-il donner à $a$ et $b$ pour que ce polynôme soit égal à $2x^4+x^2-3$? Tu devrais trouver un système d'équations en $a$ et $b$.

F.

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

bonsoir,
merci de me répondre
je suis en 1ère S
je regarde mes calculs et reviens vers toi

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

Est-il normal qu'en développant 2(x-1)(x+1)(x²+ax+b), je trouve 2x^4+2ax^3+2bx-2x²-2ax-2b ?
cela me parait très étrange...
merci de ton aide

Fred

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Re : polynome second degré

Il y a un $2bx^2$ qui apparait et non un $2bx$... Puis tu peux regrouper toutes les termes au carré ensemble, etc...

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

donc si je comprends bien, on a:
2(x-1)(x+1)(x²+ax+b)
=2(x²-1)(x²+ax+b)
=(2x²-2)(x²+ax+b)
=2x^4+2ax^3+2bx²-2x²-2ax-2b
=2x^4+2ax^3+b-2ax-2b
=2x^4+2ax^3-b-2ax

Je ne comprends pas comment faire disparaitre le x^3; en trouvant les valeurs de a et de b ?
merci

Fred

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Re : polynome second degré

Oui, pour faire disparaitre le $x^3$, il faut $a=0$. Cela fait aussi disparaitre ensuite le $x$. Et on choisit $b=\dots$ pour obtenir le bon polynôme....

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

Mais il y a un problème: je dois trouver 2x^4+x²-3 or en assimilant 0 comme valeur de a et -3 comme valeur de b, j'obtiens 2x^4-3... il me manque un x²...
A moins que ce ne soit pas -3 mais une autre valeur....
Merci de ton aide.

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

Re,
J'ai creusé du coté de la factorisation et j'ai trouvé ceci:
Comme je dois démontrer que 2x^4+x²-3=(x-1)(x+1)(x²+ax+b) on a:
2x^4+x²-3=2X²+X-3 avec X=x² | Je rappelle aussi que X1=1 et X2=-3/2
On factorise le polynôme de second degré ainsi:
2X²+X-3=(X-X1)(X-X2)
=(X-1)(X-(-3/2)
=(X-1)(X+3/2)
=(x²-1)(x²+3/2)
=(x-1)(x+1)(x²+3/2) de la forme (x-1)(x+1)(x²+ax+b) avec a=0 et b=3/2

Cela me parait correct...
Merci,bonne soirée

Fred

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Re : polynome second degré

Je n'ai pas vérifié les calculs mais la méthode est correcte. Dans le post où tu developpais le polynôme tu avais abusivement simplifié  $ 2bx^2-2x^2 $ ...

bobbycrazy

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Re : polynome second degré

Bonsoir,
merci de votre réponse et de votre aide ! Grace à vous, j'ai pu terminer mon devoir.
Bonne soirée.