Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 02-04-2011 14:40:21

Cathy
Membre
Inscription : 02-04-2011
Messages : 1

base d'une matrice

Bonjour,
je ne me rappelle plus comment on calcule la base d'une matrice.
Par exemple:
une application linéaire: f(x; y; z) = (0; x + 2z; y + z):
1o Écrire la matrice A de f dans la base canonique.
2o Déterminer le noyau de f : en donner une base.

Je ne sais pas donner la base du noyau!
Si quelqu'un peut m'aider...

Merci.

Hors ligne

#2 02-04-2011 15:01:56

samo12
Membre
Inscription : 31-03-2011
Messages : 224

Re : base d'une matrice

salut,
pour la premeière:la matrice A=0 0 0
                                               1 0 2
                                               0 1 1
pour la deuxième question:kerf={(x,y,z) telque f(x,y,z)=0}
tout d'abord dimkerf+rang(A)=dim(R3)
rang(A)=2
donc dim(kerf)=1 si on fait (0,x+2z,y+z)=(0,0,0) on obtient un systeème
x+2z=0 et y+z=0 donc x=-2z et y=-z donc kerf= vect(-2,-1,1)

Hors ligne

#3 03-04-2011 19:15:57

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : base d'une matrice

Salut,

  Pour compléter la réponse de Samo, tu pars effectivement de l'équation f(x,y,z)=0, et tu dois écrire cela comme sous-espace vectoriel engendré. Relis ton cours sur les sous-espaces vectoriels, le fait que l'on travaille avec le noyau d'une matrice n'a pas d'importance!

Fred.

Hors ligne

#4 23-04-2011 20:14:40

vik
Invité

Re : base d'une matrice

salut a tous
alors pour mettre les choses au point,ce qu'on cherche,c'est une base...donc tu dois voir avant tout la dimension de l'espace ou on se situe...
on demande ici la base de kerf,donc tu fait f(x,y,z)=(0,0,0)
ce qui donne
0=0
x+2z=0
y+z=0
ici ce systeme d'equation est a 2 equation a 3 inconnues,ce qui est normal,on va exprimer 2 composantes au choix(on prend x et y)en fonction de la 3eme...
x=-2z
y=-z

en clair,si un vecteur (x,y,z) appartient au noyau de f,il s'exprime sous la forme (-2z,-z,z)
ce qui veut tout simplement dire que chaque vecteur du noyau est sous la forme z(-2,-1,1),ou z est un scalaire(on ecrit sa u=vect(-2,-1,1) ou u appartient a kerf...
Or on t'a demandé de calculer la matrice de f par rapport a la base canonique,ceci te servira a determiner la dimension de l'image de f,autrement dit son rang,autrement dit,le rang de la matrice...ce qu'on cherche ici est de determiner la dimension du kerf afin de savoir si (-2,-1,1) est reellement une base,pour cela il existe un theoreme:
dim E=dim kerf+dim imf=dim kerf+dim rg(f)
E est ici l'espace de depart,qui est de dimension 3
on voit que sur ta matrice la premiere colonne s'exprime en fonction des deux autres,donc on pt ne pas la prendre en consideration...par contre les 2 autres sont independants,l'un ne s'exprime pas en fonction de l'autre
tu a donc finalement 2 vecteurs lineairement independants dans une matrice 3*3...la matrice est donc de rang 2
donc dim im(f)=2,dim E=3...on deduit dim kerf=1
sachant que chaque vecteur de kerf s'exprime en fonction de (-2,-1,1) on a un theoreme qui dit qu'un nombre n de vecteurs lineairement indep dans un espace de dimension n forme une base de cet espace(meme chose pr les familles generatrices)mais ici ce n'est pas un probleme car tu a un seul vecteur qui genere kerf...
un vecteur generateur dans un espace de dimension 1(ici le noyau de f) forme alors une base de cet espace

sinn desolé pour le pavé,mais j'espere que tu a compris la methode
bn courage

#5 01-11-2017 19:31:31

NEYOR
Invité

Re : base d'une matrice

Je veux savoir comment déterminer la base dans un système de 2 équations a 3 inconnu (espace vectoriel).

#6 01-11-2017 19:55:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 391

Re : base d'une matrice

Bonsoir,

Formules de politesse absentes
"Je VEUX " ?????

Discussion fermée.

Voudrais-tu bien recommencer en respectant les usages et en ouvrant ta propre discussion ?

Merci de ta compréhension.

  - Yoshi -
Modérateur


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Pied de page des forums