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#1 30-10-2017 18:30:41

Dattier
Membre
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Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Salut,

Savez vous que l'on peut construire une approximation de pi aussi bonne que souhaité, et sans connaître pi, avec la régle et le compas seulement ?

Indice : une fois que cette construction est connue alors le théorème de non quadrature du cercle n'est plus valable.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (30-10-2017 19:33:00)


Raisonnement Empirique : A est EC si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#2 30-10-2017 20:07:24

Roro
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Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Bonsoir Dattier,

Faire une approximation de $\pi$ à la règle et au compas, OK c'est connu.
En faire une aussi "bonne" que souhaité c'est déjà plus surprenant (avec un nombre fini d'opérations, uniformément borné en la précision ?)
En lisant ta dernière phrase, on comprend que ce n'est pas sérieux !
Mais j'aimerai bien que tu nous expliques - si c'est explicable...
Peut être qu'il y a une astuce et que je suis tombé dans le panneau (du style utiliser le compas d'une façon incongrue).

Roro.

Dernière modification par Roro (30-10-2017 20:08:40)

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#3 30-10-2017 20:25:31

Dattier
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Roro a écrit :

Peut être qu'il y a une astuce et que je suis tombé dans le panneau (du style utiliser le compas d'une façon incongrue).

Bravo !
Reste à savoir comment.
PS : cela entraine que dans ce cadre le théorème de la non-quadrature du cercle ne s'applique plus.

Dernière modification par Dattier (30-10-2017 20:32:27)


Raisonnement Empirique : A est EC si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#4 31-10-2017 18:59:43

jpp
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Salut.




On construit d'abord un triangle équilatéral MEF puis la hauteur MD issue de M

On construit ensuite le  rectangle  ABCD  (3 x 2) ,  AB = CD = 3  ,  BC = AD = 2  ;  M est le milieu du segment AD  ; E  est placé sur le segment CD ; ainsi l'angle DME mesure 30°

Le segment MD mesure 1 unité. Une première approche de PI  est donnée par la longueur du segment MB  avec la racine carrée de 10  :  3.16227.. avec le triangle rectangle ABM .

La mesure du segment EB  est une meilleure approximation de PI ; en effet , avec le triangle rectangle EBC : EB² = BC² + CE²

[tex]   EB = \sqrt{(3-\tan{\frac{\pi}{6}})^2 + 4}  =  3.1415333387 [/tex]

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#5 31-10-2017 19:21:37

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Bonsoir,

La construction de jpp (connue sous le nom de Méthode de Kochansky) fourni effectivement une relativement bonne approximation de $\pi$, mais pas aussi précise que l'on veut (évidemment).

Est ce que Dattier peut nous en dire plus sur la construction (sinon ça n'a aucun intérêt) ?
Parce que lorsqu'on dit "l'utilisation de la règle et du compas" c'est très précis mathématiquement : on ne peut pas faire n'importe quoi !
Et c'est justement dans ce cadre très précis qu'on démontre rigoureusement qu'il est impossible d'obtenir une longueur de $\pi$ en partant d'une longueur de $1$ (ce ne sont d'ailleurs pas des travaux récents...)

Roro.

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#6 31-10-2017 19:24:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Alors là, Jpp et Roro, je suis très impressionné par votre culture! Je n'avais jamais entendu parler de cela!

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#7 01-11-2017 17:08:41

Dattier
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Salut,

Pour répondre à Roro dans le cadre classique, pour avoir une approximation aussi bonne que souhaité on a :

[tex]\frac{\pi}{4}=\sum \limits_{k=1}^\infty \frac{\sin(k\times(\pi/2))}{k}[/tex] (édit : c'était faut cela valait -ln(2))

La série étant alternée cela permet d'avoir une borne sur le reste.

Alors qu'elle usage autre que ceux conventionnelles, on peut faire de la règle et du compas pour obtenir une approximation de pi aussi bonne que souhaité.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (01-11-2017 19:11:32)


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#8 01-11-2017 17:45:15

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

En fait j'ai mieux, dans un usage non classique de la règle et du compas la quadrature du cercle est résoluble, en un nombre fini d'étapes.

Quelle usage non classique peut-on faire de ces 2 outils pour résoudre la quadrature du cercle ?


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#9 01-11-2017 18:20:02

tibo
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Bonjour,

1) Tracer une droite $D$ et choisir un point $C$ de la droite ;
2) Tracer un cercle de rayon 1 et de centre $C$ ;
3) Répéter l'étape 2 vingt fois en appuyant suffisamment sur la mine. Cela devrait découper le cercle du papier.
4) Faire rouler ce cercle le long d'une droite sur un demi-tour en marquant les points de départ et d'arrivée. (On peut se repérer grâce au diamètre déjà dessiné sur le cercle.)
On obtient ainsi un segment de longueur $\pi$.
5) Terminer la quadrature de manière classique.

Dernière modification par tibo (01-11-2017 18:22:14)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#10 01-11-2017 18:33:20

Dattier
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Bravo !

La question est maintenant avec ces opérations en plus la trisection est-elle possible (lol) ?

J'aimerais revenir à la remarque de Roro sur ce qu'il est permis ou non de faire avec une règle et un compas, il me semble que dans notre cas ce qui a fixé la norme c'est l'usage, il suffit que l'usage que propose Tibo devienne classique pour que la quadrature du cercle soit possible avec une règle et un compas.

Dernière modification par Dattier (01-11-2017 18:33:56)


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#11 01-11-2017 19:50:11

tibo
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Messages : 944

Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

Re,

Mon message n'était clairement pas sérieux.

Les grecs (et peut-être d'autres avant eux) ont commencé leurs constructions géométriques en traçant des sillons dans du sables, puis sur des blocs d'argile ou sur de l'ardoise.
Tu m'expliques comment tu découpes un cercle dans du sable?

Le but n'est pas de réussir absolument à résoudre la quadrature du cercle, quel qu’en soit le prix.
L'objectif était de tracer un carré de même aire qu'un disque, avec les outils donnés par le problème (à savoir "tracer une droite passant par deux points donnés" et "tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné").
Il a été montré qu'avec ces seuls outils ce n'est pas possible.

Mais rien ne t'empêche de te donner d'autres outils pour créer un autre problème.
D'ailleurs d'autres ont eu cette idée avant toi, et on réussi à 'quadrer un cercle' (pas sûr que ça existe ce mot) en se donnant des courbes elliptiques, ou en se plaçant dans la géométrie hyperbolique.

il suffit que l'usage que propose Tibo devienne classique pour que la quadrature du cercle soit possible avec une règle et un compas.

Ce n'est pas une question d'usage. C'est une question de définition.
Changer les définitions ne va pas changer la véracité d'un théorème.
(Ce sera juste un peu plus long à écrire :
Tracer un carré de même aire qu'un disque donné en ayant uniquement le droit de tracer une droite passant par deux points donnés et tracer un cercle de centre donné et passant par un point donné est impossible)


Si les mathématiciens se mettent d'accord sur un certain vocabulaire, c'est pour mieux se comprendre.
Si tu arrives derrière et que tu retailles les définitions pour 'rendre des théorèmes justes', tu te rends bien compte que ça ne va pas.

Les mathématiques ne sont pas dogmatiques (comme tu le disais dans une autre discussion).
On se pose un certain nombre d'axiomes et de règles d'inférence, et on regarde jusqu'où on peut aller avec ça.
Ce sont des axiomes, pas des dogmes.
Rien ne t'interdit de partir d'autres axiomes et de voir ce que tu peux faire avec.

Dernière modification par tibo (01-11-2017 19:58:00)


A quoi sert une hyperbole?
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#12 01-11-2017 20:08:54

Dattier
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Re : Comment construire pi à la régle et au compas seulement

tibo a écrit :

Ce n'est pas une question d'usage. C'est une question de définition.

Non, une définition est une convention, et si une convention ne remplie pas son rôle alors elle est remplacée, ou n'est plus utilisée, donc oui, c'est selon moi une question d'usage.

Dernière modification par Dattier (07-11-2017 09:27:50)


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