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#1 18-10-2017 21:22:50

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Preuve combinatoire

Bonsoir, à tous.                                                                   Je suis bloqué dans l'exercice de démonstration par méthode combinatoire de l'égalité : $ n\binom{2n}{n-1}=\sum_{k=0}^n k\binom{n}{k}^2$ . Merci d'avance de m'apporter votre coup de pouce.

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#2 18-10-2017 22:43:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Preuve combinatoire

Bonjour,

  Je ne sais pas si ce que je vais proposer est tout à fait combinatoire, mais voici ce qui me vient en tête :
j'écris $k\binom nk^2=k\binom nk\binom n{n-k}=n\binom{n-1}{k-1}\binom n{n-k}$ de sorte qu'il faut prouver que
$$\binom{2n}{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom n {n-k} \binom{n-1}{k-1}$$
(pour le moment, ce n'est pas du tout combinatoire!). Mais là je dois sans doute être un peu fatigué car j'aurais bien remplacer le $2n$ par $2n-1$ pour compter de deux façons différentes le nombre de parties à $n-1$ éléments dans un ensemble à $2n-1$ éléments....

F.

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#3 22-10-2017 15:50:35

m ichel mollard
Invité

Re : Preuve combinatoire

Bonjour,
Voilà le début Imagine que tu as n boules rouges et n+1 blanches. Tu dois choisir 1 rouge pour la mettre à part et n-1 boules parmi les 2n qui restent.











Tu peux aussi le faire en choisissant d'abord  le nombre k total de boules rouges puis.....

#4 31-10-2017 11:23:46

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Preuve combinatoire

Salut,

a priori, et sauf erreur, la formule postée est fausse !
avec n = 4 , on a 224 qui est différent de 140 et avec n = 6, on a 4.752 qui est différent de 2.772 ...


Memento Mori ! ...

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#5 31-10-2017 14:36:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Preuve combinatoire

C'est ce qui me semblait aussi quand j'avais réfléchi au problème. Je pense que c'est juste en remplaçant 2n par 2n-1 dans le coefficient binomial de gauche.

F

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#6 31-10-2017 15:28:27

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Preuve combinatoire

Fred a écrit :

C'est ce qui me semblait aussi quand j'avais réfléchi au problème. Je pense que c'est juste en remplaçant 2n par 2n-1 dans le coefficient binomial de gauche.

F

Exact !

du coup, en reprenant ton résultat, il faut faire un petit calcul du genre $(X+Y)^{2n-1}=(X+Y)^n\times (X+Y)^{n-1}$, isoler à gauche le coefficient de $X^n Y^{n-1}$ et montrer qu'à droite et par identification, on a bien une somme de produit de coefficients de la forme que tu indiques.

Dernière modification par freddy (31-10-2017 15:49:18)


Memento Mori ! ...

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