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#1 29-10-2017 17:26:27
- miimii27
- Membre
- Inscription : 29-10-2017
- Messages : 2
Sommes télescopiques
Bonjour ,
J’aurai besoin d’aide pour un calcul, je n’arrive pas à calculer la somme suivante
Somme (k=2, k=n) 1/k^2-1
Comment pourrais je faire en utilisant l’identité
1/k - 1/k+a = a/k(k+a)
Je pensais à faire 1/(k-1)(k+1) mais je n’ai pas de 1/k ...
Merci pour votre aide
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#3 29-10-2017 20:01:43
- Saraa
- Invité
Re : Sommes télescopiques
Oui avec l’identité j’ai trouvé, j’ai fait un changement de variable mais après je suis bloquée
#4 29-10-2017 20:34:59
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : Sommes télescopiques
Re,
Je n'ai pas pu poster avant, j'ai dû aller récupérer ma fille dans une gare à 40 km de chez moi...
Je vois que Fred a enfourché le même cheval...
[tex]\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{2}{k^2-1}[/tex]
Donc
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{2}{k^2-1}=\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac 1 2\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac 1 2\left(\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k+1}\right)[/tex]
Ensuite
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}=1+\frac 1 2+\frac 1 3+\cdots+\frac{1}{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}[/tex]
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k+1}=\frac 1 3+\frac 1 4+\cdots+\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 4+\cdots+\frac{1}{n+1}\right)-\left(1+\frac 1 2\right)=\cdots[/tex]
Fred a peut-être une piste plus rapide...
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#8 31-10-2017 10:45:31
- yoshi
- Modo Ferox
- Inscription : 20-11-2005
- Messages : 16 947
Re : Sommes télescopiques
RE,
Je vais faire un effort et résumer ce que j'ai vu...
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2-1}=\frac 1 2 \left[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\left(\left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}\right)-\left(1+\frac 1 2\right)\right)\right][/tex]
Et :
[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}=\left(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\right)+\left(\frac 1 n +\frac{1}{n+1}\right)[/tex]
Allez un petit effort de ton côté !
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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