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#1 29-10-2017 16:26:27

miimii27
Membre
Inscription : 29-10-2017
Messages : 2

Sommes télescopiques

Bonjour ,
J’aurai besoin d’aide pour un calcul, je n’arrive pas à calculer la somme suivante
Somme (k=2, k=n) 1/k^2-1
Comment pourrais je faire en utilisant l’identité
1/k - 1/k+a = a/k(k+a)

Je pensais à faire 1/(k-1)(k+1) mais je n’ai pas de 1/k ...

Merci pour votre aide

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#2 29-10-2017 17:59:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Sommes télescopiques

Salut

  Que vaut  $ 1/(k-1)-1/(k+1) $??

F

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#3 29-10-2017 19:01:43

Saraa
Invité

Re : Sommes télescopiques

Oui avec l’identité j’ai trouvé, j’ai fait un changement de variable mais après je suis bloquée

#4 29-10-2017 19:34:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Sommes télescopiques

Re,

Je n'ai pas pu poster avant, j'ai dû aller récupérer ma fille dans une gare à 40 km de chez moi...
Je vois que Fred a enfourché le même cheval...
[tex]\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{2}{k^2-1}[/tex]
Donc
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{2}{k^2-1}=\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac 1 2\sum_{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac 1 2\left(\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k+1}\right)[/tex]

Ensuite
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}=1+\frac 1 2+\frac 1 3+\cdots+\frac{1}{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}[/tex]

[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k+1}=\frac 1 3+\frac 1 4+\cdots+\frac{1}{n+1}=\left(1+\frac 1 2+\frac 1 3+\frac 1 4+\cdots+\frac{1}{n+1}\right)-\left(1+\frac 1 2\right)=\cdots[/tex]

Fred a peut-être une piste plus rapide...

@+


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#5 29-10-2017 20:23:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Sommes télescopiques

Non, non, c'est exactement cela que j'aurais fait (ou alors un changement d'indices $k\mapsto k+2$ dans une des deux sommes, ce qui revient exactement au même...)

F.

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#6 30-10-2017 13:32:11

miimii27
Membre
Inscription : 29-10-2017
Messages : 2

Re : Sommes télescopiques

Bonjour merci pour votre aide
Donc après avoir fait ça je sors le n-1 de la somme ?

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#7 30-10-2017 13:55:44

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Sommes télescopiques

Je ne vois pas ce que vient faire ce n-1. Mais si tu fais la différence des deux sommes écrites en extension par Yoshi, il me semble clair qu'il y a 4 termes qui ne se simplifient pas....

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#8 31-10-2017 09:45:31

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 388

Re : Sommes télescopiques

RE,

Je vais faire un effort et résumer ce que j'ai vu...
[tex]\sum_{k=2}^n\frac{1}{k^2-1}=\frac 1 2 \left[\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\left(\left(\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}\right)-\left(1+\frac 1 2\right)\right)\right][/tex]
Et :
[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k}=\left(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\right)+\left(\frac 1 n +\frac{1}{n+1}\right)[/tex]

Allez un petit effort de ton côté !

@+


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