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#1 30-10-2017 16:22:38

bib
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Calcul de la dérivée d'une distribution

Bonjour,
on considère la fonction $f(x)= \chi_{]0,1]}+ (2-x) \chi_{[1,2]}$, et la question est de calculer $f'$ au sens des distributions.
donc cette fonction est
$$
f(x)
=
\begin{cases}
1, &x \in ]0,1]\\
2-x & x \in [1,2]
\end{cases}
$$
On remarque que $f$ est continue sur $\R$ (il n y a pas de sauts) et de plus $f \in L^1_{loc}(\R)$  car elle est $L^1(\R)$. Donc elle définit une distribution par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): <f,\varphi>= \displaystyle\int_0^1 \varphi(x) dx + \displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi(x) dx.
$$
On a
$$
<f',\varphi>= -<f,\varphi'>= - \displaystyle\int_0^1 \varphi'(x) dx - \displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi'(x) dx.
$$
D'un côté $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(x) dx = \varphi(1) - \varphi(0)$, et d'un autre côté on a par ipp que $\displaystyle\int_1^2 (2-x) \varphi'(x) dx= \varphi(1)+ \displaystyle\int_1^2 \varphi(x) dx.$
Donc
$$
<f',\varphi>= \varphi(0)-2 \varphi(1)+ \displaystyle\int_1^2 \varphi(x) dx
$$
Comment exprimer le $f'$ final? S'il vous plaît.

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#2 30-10-2017 16:29:56

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Tu as la somme de deux masses de Dirac et d'une fonction...
Par contre  $ f $ n'est pas continue en 0...

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#3 30-10-2017 16:34:51

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Pourquoi il faut regarder la continuité de $f$ en 0 puisque c'est ouvert en 0? S'il vous plaît. Dans ce cas là ce que j'ai fait est faux et il faut utiliser le théorème des sauts?

Dernière modification par bib (30-10-2017 16:35:25)

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#4 30-10-2017 18:16:16

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

bib a écrit :

Pourquoi il faut regarder la continuité de $f$ en 0 puisque c'est ouvert en 0? S'il vous plaît. Dans ce cas là ce que j'ai fait est faux et il faut utiliser le théorème des sauts?

Je ne vois pas en quoi le fait que ce soit ouvert en 0 change quoi que ce soit à ton problème. Et en fait tu as redémontré la formule des sauts sur ton exemple...

F

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#5 30-10-2017 18:29:12

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Expliquez moi s'il vous plaît comment on voit qu'une fonction a un saut? S'il vous plaît.

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#6 30-10-2017 18:38:00

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Tu traces sa courbe représentative!!!!!

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#7 30-10-2017 19:59:12

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Le théorème des sauts dit ceci: soit $f$ de classe $C^1$ par morceaux, et discontinue en $a_1,...,a_p$. Soit $\sigma_i$ un saut en $a_i$. c'est à dire que $\sigma_i= \lim_{x \to a_i^+} f(x)-\lim_{x \to a_i^-} f(x)$, donc
$$
(T_f)'= T_{f'} + \sum_{i=1}^n \sigma_i \delta_{a_i}
$$
Ma question est: je ne comprend pas la signification de $f'$ c'est la dérivée de $f$ dans quel intervalle? Par exemple dans l'exemple $f$ que j'ai donné, comment on calcul $f'$ pour appliquer le théorème des sauts directement? S'il vous plaît.

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#8 30-10-2017 20:04:28

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Sur chaque intervalle (ouvert) où $f$ est dérivable. Dans ton cas, $f'=0$ sur $]0,1[$ et $f'=-1$ sur $]1,2[$.

Par ailleurs, je crois qu'il y a un problème de signe dans ton IPP.

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#9 30-10-2017 20:15:38

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Mais là on a trouvé deux $f'$, et dans la formule des sauts il n y a qu'un seul $f'$. Lequel on choisit? Ou bien il doit y avoir une somme dans la formule des sauts?

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#10 30-10-2017 20:23:31

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Tu n'as pas deux $f'$. Au départ, est-ce que tu as l'impression d'avoir deux $f$???? C'est juste que $f'$ est définie par deux formules différentes sur deux intervalles. En mettant des fonctions caractéristiques, tu peux avoir une seule formule si ça te chante...

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#11 30-10-2017 22:01:52

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Si on a par exemple la fonction $g(x)= x |x|$ sur $\mathbb{R}$, elle est $C^1$ parmorceaux.
D'abord, d'après la définition des sauts, le saut en 0 est la différence entre la limite de la fonction à droite de 0 et à gauche de 0. Mais là ça nous donne 0.  Donc il n y pas de saut en 0.
1. Les points où il y a un saut sont seulement ceux où on n'a pas la continuité, c'est bien ça?
2. Ensuite pour appliquer le théorème des sauts, on a besoin de $g'$,mais comment le calculer ici? ou bien il s'agit de $g'$ au sens des distributions et pas au sens fort?

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#12 30-10-2017 22:34:12

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

De la même façon que dans l'exemple précédent ! Tu as deux expressions différentes suivant le signe de  $ x $

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#13 31-10-2017 13:19:45

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Oui, et donc comment on applique la formule donnée par le théorème des sauts? S'il vous plaît. Plus précisément, qu'est ce qu'on prend comme $T_{f'}$?

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#14 31-10-2017 14:40:48

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Je crois que tu ne comprends pas que l'on a une seule fonction  $f' $  même si elle s'exprime différemment suivant l'intervalle où on se place... Donc il n'y aucun problème pour définir la distribution associée.

F.

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#15 01-11-2017 11:15:06

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Bonjour,
pour la fonction $g(x)=x|x|$ définie sur $\mathbb{R}$ on remarque que $g$ est de classe $C^1$ par morceaux sur $\mathbb{R}$ et elle n'a pas de sauts. Donc on a $(T_g)'= T_{g'}$. Puisque
$$
g'(x)=
\begin{cases}
-2x &:x \in ]-\infty,0[\\
2x &x \in [0,+\infty[
\end{cases}
$$
on remarque que $g' \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$ donc elle définie alors une distribtion par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <T_{g'},\varphi> = -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx +2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
$$
et
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <(T_g)',\varphi>= <T_{g'},\varphi>
$$

Maintenant je cherche à calculer $(T_g)''$. On a la première méthode qui consiste à écrire $<(T_g)'',\varphi>= -<(T_g)',\varphi'>$ puis on fait l'intégration par parties.
Ma question est est-ce qu'on peut calculer $(T_g)''$ directement en utilisant le théorème des sauts?

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#16 01-11-2017 17:04:24

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Pourquoi pas ?

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#17 01-11-2017 17:40:03

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Comment on fait? Je sais calculer de la manière suivante:
1. Calcul de $(T_g)''$: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)'',\varphi>=-<(T_g)',\varphi'>= 2\displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - 2\displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi'(x) dx
$$
en utilisant l'ipp on obtient que
$$
<(T_g)'',\varphi>=-2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx).
$$
Donc
$$
(T_g)''= -2 (\chi_{]-\infty,0[}+\chi_{[0,+\infty[}).
$$

2. Calcul de $(T_g)'''$. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. On a
$$
<(T_g)''',\varphi>=-<(T_g)'',\varphi'>= 2(\displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi'(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi'(x) dx)=0
$$
donc
$$
(T_g)'''=0.
$$

S'il n y a pas d'erreur, j'ai une question. Le théorème des sauts donne la dérivée première. Est-ce qu'il y a une formule directe qu'on peut utiliser pour calculer les dérivées d'ordre $\alpha$ supérieure ou égale à 2? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (01-11-2017 19:56:50)

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#18 01-11-2017 18:25:14

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Tu peux appliquer la formule des sauts directement à $T_{g'}$ puis à $T_{g''}$. Mais il n'y a pas une formule qui te donnera directement $T_{g}''$ en fonction de $T_{g''}$ car:
1. il faut tenir compte des masses de Dirac qui apparaissent dans la formule des sauts pour calculer la dérivée première
2. $g'$ peut avoir des points de discontinuité différents de ceux de $g$...

F.

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#19 01-11-2017 19:32:25

bib
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Je ne suis pas sure de bien comprendre votre message.
1. Mes calculs sont bien correctes?
2. Ensuite, la formule des sauts nous donne $(T_g)'$ c'est à dire la dérivée de la distribution que définie $g$, et s'il y a des sauts alors $(T_g)'$ n'est pas égale à $T_{g'}$. Comment on applique la formule des sauts pour obtenir $T_{g''}$? S'il vous plaît.

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#20 01-11-2017 20:52:44

Fred
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Re : Calcul de la dérivée d'une distribution

Si par exemple $(T_{g})'=\delta_a+T_{g'}$ alors $(T_{g})''=\delta_a'+(T_{g'})'$ et tu appliques la formule des sauts pour déterminer $(T_{g'})'$...

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