Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 29-10-2017 19:22:33

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

dérivée d'une distribution

Bonjour,
soit $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$. On a la définition suivante
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\Omega): \langle \partial_i T,\varphi \rangle = - \langle T,\partial_i \varphi \rangle.
$$
Je cherche à montrer que $\partial_i T$ est continue.

Voici ce que j'ai fait: soit un compact $K$ et soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$. On a:
$$
|\langle \partial_i T,\varphi \rangle| = |\langle T,\partial_i \varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\partial_i \varphi)
$$
car $T \in \mathcal{D}'(\Omega)$.
On a $$P_{K,m}(\partial_i \varphi)= \sup_{|\alpha|\leq m, x \in K} |D^{\alpha}(\partial_i \varphi)|$$
Après ça je ne sais pas comment l'écrire en fonction de $P_{K,\lambda}(\varphi)$ car la présence de $D^\alpha$ et $\partial_i$ me perturbe. Comment majorer $\sup_{|\alpha|\leq m, x\in K}|D^\alpha (\partial_i \varphi)|$ en fonction d'un $P_{K,\lambda}(\varphi)$?

Je lis qu'on a
$$
\sup_{|\alpha|\leq m} |D^\alpha \partial_i \varphi| \leq \sup_{|\alpha|\leq m+1} |D^\alpha \varphi
$$
Mais je ne comprend pas sur quelle base on majore $|\alpha|$ par $m$ ou $m+1$ ou $m+2$...ect

J'ai pensé à ceci:

Si $\alpha=(\alpha_1,..,\alpha_i,....,\alpha_k)$ on a:
$$
D^\alpha \varphi= \partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i}_{x_i}... \partial^{\alpha_k}_{x_k}\varphi(x_1,...,x_k) ,
$$
et
$$
D^\beta \varphi= \partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i}_{x_i} ... \partial^{\alpha_k}_{x_k} \partial_{x_i} \varphi(x_1,...,x_k)=\partial^{\alpha_1}_{x_1}  \partial^{\alpha_2}_{x_2}... \partial^{\alpha_i+1}_{x_i} ... \partial^{\alpha_k}_{x_k}(x_1,...,x_k) ,
$$où $\beta=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_i+1,...,\alpha_k)= (\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_k)+ (0,...,1,...,0)$ qui imlplique que $|\beta| \leq |\alpha|+1$ et par conséquent $|\beta| \leq m+1$.
Tout est ok?

Dernière modification par bib (29-10-2017 20:09:18)

Hors ligne

#2 29-10-2017 20:37:46

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : dérivée d'une distribution

Oui, c'est pour cela qu'on passe de $m$ à $m+1$.

Hors ligne

#3 29-10-2017 20:51:57

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : dérivée d'une distribution

Mais comment on montre l'inégalité
$$
\sup_{|\alpha| \leq m} |D^\alpha (\partial_i \varphi)(x)| \leq \sup_{|\beta| \leq m+1} |D^\beta \varphi(x)|?
$$
S'il vous plaît. Pourquoi il y a une inégalité au lieu d'une égalité?

Dernière modification par bib (29-10-2017 21:00:23)

Hors ligne

#4 29-10-2017 21:16:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : dérivée d'une distribution

D'abord, même si tu as égalité, tu as a fortiori inégalité et c'est l'inégalité qui t'intéresse. Ensuite, tu n'obtiens pas tous les multi-indices de longueur $m+1$. Tu n'obtiens que ceux pour lesquels la $i$-ème coordonnée est au moins égale à $1$.

Hors ligne

#5 29-10-2017 21:24:34

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : dérivée d'une distribution

Je ne comprend pas ce dernier point s'il vous plaît. Je sais qu'on a $|\alpha|=\sqrt{\alpha_1^2+...+\alpha_i^2+...+\alpha_k^2}$ et  $|\alpha|=\sqrt{\alpha_1^2+...+\alpha_i^2+...+\alpha_k^2+1}$.
Je ne comprend pas quand vous dites qu'on obtient que ceux pour lesquels $i$-ème coordonnée est au moins égale à 1?

Hors ligne

#6 29-10-2017 21:53:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : dérivée d'une distribution

C'est écrit dans ton post!

bib a écrit :

$$où $\beta=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_i+1,...,\alpha_k)= (\alpha_1,...,\alpha_i,...,\alpha_k)+ (0,...,1,...,0)$ qui imlplique que $|\beta| \leq |\alpha|+1$ et par conséquent $|\beta| \leq m+1$.

Le $i$-ème coefficient de $\beta$ ne peut pas être nul, et donc on n'a pas tous les multi-indices de longueur $m+1$.

Hors ligne

#7 29-10-2017 22:13:43

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : dérivée d'une distribution

Je suis vraiment bloquée. Help je vous en supplie. Aidez moi à répondre à ces deux questions s'il vous plait.
$\sup_{|\alpha| \leq m} |D^\alpha \partial_i \varphi(x)|$ veut dire quoi? s'il vous plaît
et $\sup_{|\beta| \leq m} |D^\beta \varphi(x)|$ veut dire quoi s'il vous plaît?
en sachant que pour moi, $\beta= (\alpha_1,...,\alpha_i+1,...,\alpha_k)$.

Dernière modification par bib (29-10-2017 22:20:11)

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le troisième mot de cette phrase?

Pied de page des forums