Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bib

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Inclusions entre espaces de Lebesgue

Bonjour,
je souhaite m'assurer des inclusions suivantes:
1. si $\Omega$ est borné, alors on a: $L^1(\Omega) \subset L^1_{loc}(\Omega)$ et $\forall p \leq q: L^q(\Omega) \subset L^p(\Omega)$. C'est ok?
2. Si $\Omega$ n'est pas borné, est ce qu'on garde les deux inclusions précédentes?
Merci par avance pour votre aide.

Fred

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Re : Inclusions entre espaces de Lebesgue

1. Oui.

2. Oui pour la première (c'est évident) non pour la seconde (pense à [1,+oo[ et aux intégrales de Riemann par exemple.

F

bib

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Re : Inclusions entre espaces de Lebesgue

Merci beaucoup. Et dérnière question: on a $L^1_{loc}$ qui s'injecte continûment dans $\mathcal{D}'$ (car il y a une fonction linéaire injéctive et continue de $L^1_{loc}$ dans $\mathcal{D}'$.
1. Est-ce qu'il faut la linéarité pour dire qu'il y a une injection entre les deux espaces?
2. On dit que la convergence dans $\mathcal{D}'$ est plus faible que la convergence dans $L^1_{loc}$. Je ne comprend pas pourquoi.