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#26 23-10-2017 19:51:33

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Bon je crois que j'ai fini par comprendre.
$\varphi$ est continue en 0 avec $\varphi(0)=0$ veut dire que pour tout $\epsilon > 0$, $\exists \eta >0: |x| < \eta: |\varphi(x)| < \epsilon$.
Alors soit $\epsilon > 0$, on a si $|x| < \eta: |\psi_n| \leq \epsilon$.
et si $|x| \geq \eta$ on a $\dfrac{1}{1 + x^2 \eta^2} \leq \dfrac{1}{1+n^2 \eta^2}$ donc $|\psi_n(x)| \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.
On conclut que si $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ bornée, alors $(\psi_n)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Le problème maintenant est pour les dérivées. Comment on fait pour voir si pour tout $\alpha \in \mathbb{N}, D^\alpha \psi_n$ est uniformément convergente vers 0 ou non? S'il vous plaît.

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#27 23-10-2017 20:03:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Convergence dans D

bib a écrit :

Bon je crois que j'ai fini par comprendre.
$\varphi$ est continue en 0 avec $\varphi(0)=0$ veut dire que pour tout $\epsilon > 0$, $\exists \eta >0: |x| < \eta: |\varphi(x)| < \epsilon$.
Alors soit $\epsilon > 0$, on a si $|x| < \eta: |\psi_n| \leq \epsilon$.
et si $|x| \geq \eta$ on a $\dfrac{1}{1 + x^2 \eta^2} \leq \dfrac{1}{1+n^2 \eta^2}$ donc $|\psi_n(x)| \to 0$ lorsque $n \to +\infty$.

Ecris ainsi, tu ne prouves pas la convergence uniforme car tu écris simplement que $\psi_n(x)\to 0$ alors que ceci doit être uniforme. Tu dois fixer $N$ tel que, pour $n\geq N$, $1/(1+n^2\eta^2)\leq\varepsilon$ et dire que, pour tout $n\geq N$, et tout $x\in[-a,a]$, $|\psi_n(x)|\leq\varepsilon$.

On conclut que si $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ bornée, alors $(\psi_n)$ est uniformément continue sur $\mathbb{R}$.

Le problème maintenant est pour les dérivées. Comment on fait pour voir si pour tout $\alpha \in \mathbb{N}, D^\alpha \psi_n$ est uniformément convergente vers 0 ou non? S'il vous plaît.

Je ne sais pas immédiatement, et je n'ai pas plus envie de réfléchir à cela que la semaine passée!

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#28 24-10-2017 18:54:44

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

S'il vous plaît, je cherche à montrer que $\psi'_n$ converge uniformément si et seulement si $\varphi'(0)=0$.
On a
$$
\psi'_n(x)= \dfrac{-2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2} \varphi(x) + \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi'(x).
$$

1. La limite simple de $\psi'_n$ est $\varphi'(0)$ si $x=0$ et $0$ si $x \neq 0$.
La limite uniforme doit être continue, donc si on suppose que $\psi'_n$ converge uniformément vers $\psi$ alors on a nécessairement que $\varphi'(0)=0$.

2. On montre maintenant que si $\varphi'(0)=0$ alors $\psi'_n$ converge uniformément vers $\psi$.
Soit $\epsilon > 0$. Par continuité de $\varphi'$ et puisque $\varphi'(0)=0$, on a $\exists \eta > 0, \forall x \in [-\eta,\eta]: |\varphi'(x)| < \epsilon$.
on a aussi que $|\dfrac{1}{1+(nx)^2}| \leq 1$, $|\varphi(x)| < \epsilon$. Il reste à majorer $|-\dfrac{2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2}|$.
On pose $g(x)= -\dfrac{2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2}$ et on a $g'(x)= \dfrac{2n^2 -2 n^6 x^4}{(1+(nx)^2)^4}$. On trouve que $|g(x)| \leq |g(\dfrac{1}{n^4})| \leq 1$.
Donc on conclut que si $|x| \leq \eta$ alors $|\psi_n'(x)| < \epsilon$.
Maintenant si $|x| > \eta$, le terme $\dfrac{-2 n^2 x}{(1+(nx)^2)^2} \varphi(x)$ me pose problème, je ne sais pas comment le majorer dans ce cas.
Merci de m'aider s'il vous plaît à conclure et à améliorer la preuve.

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#29 25-10-2017 06:10:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Convergence dans D

Dès que  $ n $ est assez grand  $ \eta>1/n^4 $  et donc la fonction  $ g $  est decroissante sur  $ [\eta,+\infty[ $ .
En passant je ne suis pas sûr de ce  $ 1/n^4 $ .

F

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#30 25-10-2017 17:17:47

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Je reprend. On a
$$
\psi'_n(x)= -\dfrac{2n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2} \varphi(x) +\dfrac{1}{1+ n^2 x^2} \varphi'(x)
$$
on suppose que $\varphi(0)= \varphi'(0)=0$.
Montrer que $(\psi'_n)$ est uniformément convergente revient à montrer que $\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}: n \geq n_0 => |\psi'_n(x)| \leq \epsilon)$.
Soit $\epsilon > 0$. On a

\begin{align*}
\sup_{x \in K} |\psi'_n(x)| &\leq \sup_x |\dfrac{-2 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2}| \sup_x |\varphi(x)| + \sup_x |\dfrac{1}{1+n^2 x^2}| \sup_x |\varphi'(x)|\\
& \leq \dfrac{9n}{8\sqrt{3}} \sup_x |\varphi(x)| + \sup_x |\varphi'(x)|.
\end{align*}
Puisque $\varphi$ et $\varphi'$ sont continues et que $\varphi(0)=\varphi'(0)=0$ alors on a $\forall \epsilon >0, \exists \eta > 0, \forall x: |x| \leq \eta => |\varphi(x)| \leq \epsilon$ et $|\varphi'(x)| \leq \epsilon$.
Donc si $x \in [-\eta,\eta]$ on a $\sup_x |\psi'_n(x)| \leq (  \dfrac{9n}{8\sqrt{3}}+1   ) \epsilon$.

J'ai deux difficultés s'il vous plaît.
1. Dans ce cas où $|x| \leq \eta$ comment conclure que $\sup_x |\psi'_n(x)| \leq \epsilon$ à partir d'un certain rang $n_0$? Surtout que $ \dfrac{9n}{8\sqrt{3}}+1 >1$.

2. Dans le cas où $|x| > \eta$ je ne comprend pas comment on fait, je n'y arrive pas. Pouvez vous me donner une méthode simple et intuitive pour raisonner?
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (25-10-2017 17:25:15)

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#31 25-10-2017 20:09:51

bib
Membre
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Messages : 187

Re : Convergence dans D

S'il vous plaît Fred vous pouvez m'aider à finir la solution de mon post 30 s'il vous plaît.

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#32 26-10-2017 05:16:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Convergence dans D

Tu sais, je n'ai pas un temps infini à te consacrer, et je te l'ai déjà dit, cet exercice me semble difficile (comment faire ensuite pour la dérivée seconde par exemple?), et en plus, j'ai l'impression que tu nous donnes des informations au fur et à mesure (au début, c'était étudier la convergence dans $\mathcal D(\mathbb R)$, ensuite c'est devenu montrer que ça converge si et seulement si $\varphi^{(k)}(0)=0$ pour tout $k$).

Concernant tes questions, d'abord je ne sais pas d'où vient ton $9n/8\sqrt 3$. Et c'est clair que la première chose que je ferai, c'est étudier les deux fonctions $2n^2x/( 1+(n^2x^2)^2)$ et $1/(1+n^2x^2)$ pour savoir quel est leur maximum et où il est atteint.

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#33 27-10-2017 17:47:08

bib
Membre
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Re : Convergence dans D

Alors pour montrer que $D^\alpha \psi_n(x)$ converge uniformément vers 0 si on suppose que $D^\alpha \varphi(0)=0$pour tout $\alpha \in \mathbb{N}$.
Soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On a $D^\alpha \psi_n(x)= \sum_{\beta \leq \alpha} C_{\alpha}^{\beta} D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2}) D^\beta \varphi(x)$.

Tout d'abord, on remarque que $(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})'= -\dfrac{2 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^2}$ et $(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})''= -2 n^2 \dfrac{1-x^2 +4 n^2 x}{(1+n^2 x^2)^3}$.
1. à partir de là comment on peut construire une formule par reccurence qui montre que le degré en $n$ du numérateur est toujours injerieur à celui du dénominateur, ce qui montre que $D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$ tend vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.

Ensuite, pour montrer la convergence uniforme, on commence par soit $\epsilon > 0$ et on distingue deux cas:
2. si $|x| \leq \eta$ on a par contuité de $D^\beta \varphi(x)$ que $|D^\beta \varphi(x)| \leq \epsilon$. Mais que dire de $D^\alpha (\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$?
3. si $|x| > \eta$ dans ce cas on utilise le fait que $D^\beta \varphi(x)$ est bornée par $M$, mais que dire à propos de $D^\alpha(\dfrac{1}{1+n^2 x^2})$?
S'il vous plaît. Merci par avance pour votre aide.

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