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#1 26-10-2017 14:48:07

lekoue
Membre
Inscription : 21-09-2016
Messages : 12

preuve de la formule de Poincaré en théorie des mesures

Bonjour chers tous, svp j'ai besoin d'un lien pour la preuve de la formule [tex](1.1)[/tex] de Poincaré suivante:
Soit [tex]\mu[/tex] une mesure finie sur [tex](\Omega,\mathscr{F}).[/tex] Pour tout entier [tex]n\ge 2[/tex] et tous [tex]A_i (1\le i\le n)[/tex] éléments de [tex]\mathscr{F},[/tex] on a:
[tex]\mu(\bigcup_{i=1}^nA_i) = \sum\limits_{i=1}^n\mu(A_i)+\sum\limits_{k=2}^n(-1)^{k+1}\sum\limits_{1\le i_1<i_2\ldots<i_k\le n}^n\mu(A_{i_1}\cap\ldots\cap A_{i_k})\;\;\;\;\;\; (1.1)[/tex]

ou bien si quelqu'un peut m'aider (où m'indiquer les grand points) de la preuve ça sera génial.
Merci!

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#2 26-10-2017 18:35:50

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : preuve de la formule de Poincaré en théorie des mesures

Bonsoir lekoue,

A tout hasard : as-tu essayé par récurrence ?

Roro.

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#3 27-10-2017 07:48:04

lekoue
Membre
Inscription : 21-09-2016
Messages : 12

Re : preuve de la formule de Poincaré en théorie des mesures

j'ai essayé de faire la preuve pour [tex]n=2[/tex]

D'une part [tex](A_i)_{i=1,2}\in\mathscr{F} \Rightarrow \bigcup_{i=1}^2A_i\in\mathscr{F}[/tex] car [tex]\mathscr{F}[/tex] est une tribu.
D'autre part, [tex]\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap_{i=1}^2A_i[/tex] et les ensembles [tex]A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex], [tex]A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] et [tex]\bigcap_{i=1}^2A_i[/tex] sont deux à deux disjoints et il s'en suit donc de la définition de [tex]\mu[/tex] que [tex]\mu(\bigcup_{i=1}^2A_i)=\mu(A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))+\mu(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))+\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i).[/tex] or [tex]\bigcap_{i=1}^2A_i\subset A_i, i=1,2 [/tex] et il resulte donc de l'additivité finie de [tex]\mu[/tex] que [tex]\mu(A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))=\mu(A_1)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] et [tex]\mu(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)) = \mu(A_2)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex] (car [tex]\mu[/tex] est une mesure finie). D'ou
[tex]\mu(\bigcup_{i=1}^2A_i) = \mu(A_1)+\mu(A_2)-\mu(\bigcap_{i=1}^2A_i)[/tex].

Question: comment raisonner pour tout [tex]n> 2(n\in\mathbb{N})?[/tex]

Dernière modification par lekoue (27-10-2017 08:29:38)

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#4 27-10-2017 09:59:22

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 976

Re : preuve de la formule de Poincaré en théorie des mesures

Bonjour,
Attention, il y a des coquilles dans ce que tu as écris pour le cas $n=2$,
tu as écris

lekoue a écrit :

$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\bigcap_{i=1}^2A_i$

Alors que c'est plutôt
$\bigcup_{i=1}^2A_i = (A_1-(\bigcap_{i=1}^2A_i))\cup(A_2-(\bigcap_{i=1}^2A_i)) \cup \bigcap_{i=1}^2A_i$

Pour l’hérédité, il faut écrire
$\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i = \bigcup_{i=1}^{n}A_i \cup A_{n+1}$

Tu appliques le cas $n=2$ à cette égalité pour avoir
$\mu\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right) + \mu\left(A_{n+1}\right) -  \mu\left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\cap A_{n+1}\right)$

Utilise la distributivité de l'union pour transformer le troisième terme du deuxième membre en une intersection. Tu pourras alors appliquer l'hypothèse de récurrences au premier et troisième terme (transformé) et regrouper tous les termes.

Tu peux aussi chercher sur le net avec les mots clés "formule du crible", souvent rencontrée en probabilités.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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