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oussama96

Invité

systeme differentielle

Bonjour tout le monde,

On considère le système (S) d'équations différentielles suivant:
x′(t) = x(t) + 2y(t) + 1
y′(t) = −3x(t) − 3y(t) + z(t) − exp(t)
z′(t) = 2x(t) + 2y(t) − z(t) + 2exp(t)

comment résoudre ce probleme on utilisant la méthode d'exponentielles d'une matrice ?

merci d'avance

Yassine

Membre

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Re : systeme differentielle

Bonsoir,
Je ne suis pas un spécialiste, mais par analogie avec le cas dim=1, tu peux écrire $X'_t = AX_t + \beta$ où $X_t$ désigne le vecteur $\left(x(t), y(t), z(t)\right)^T$, $A$ une matrice $3\times 3$ et $\beta$ un vecteur non dépendant de $X_t$ ($\left(1, -e^t, 2e^t\right)$ dans ton cas).
La solution de l'équation homogène $X'_t = AX_t$ est de la forme $X_t = exp(At)$.

Voir ici pour une discussion sur l'exponentielle d'une matrice.

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Fred

Administrateur

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Re : systeme differentielle

Bonjour,

  Comme le dit Yassine, le point clé est de calculer l'exponentielle de la matrice $A$. Ceci est facilité ici par le fait que son polynôme caractéristique est $(X+1)^3$. Ainsi, par le théorème de Cayley-Hamilton, on a $(A+I_3)^3=0$. On écrit ensuite $tA=t(A+I_3)-tI_3$ et donc, puisque les deux matrices commutent, $\exp(tA)=\exp( t(A+I_3))\exp(tI_3)$. Le calcul de la première exponentielle est facile en utilisant la série car, avec la relation $(A+I_3)^3=0$, on ne doit garder que deux termes.

Cet exercice est très proche de ce que tu dois faire. Son corrigé est détaillé.

F.