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#1 22-10-2017 20:20:06
- bib
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ordre de vp 1/x
Bonsoir,
on définit la valeur principale $vp \dfrac{1}{x}$ par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi\rangle=
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$, en sachant que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$
Pour montrer que l'ordre de $vp 1/x$ n'est pas 0, il suffit de montrer qu'il existe un compact $L$ de $\mathbb{R}$ tel que pour toute constante $C$, on a: $\exists \varphi \in \mathcal{D}_L(\mathbb{R}): |\langle vp \dfrac{1}{x}| > C \sup_{x \in L} |\varphi(x)|$
Pour ça j'ai trouvé l'exemple suivant: on construit une suite de fonctions plateaux $(\varphi_n)$. On pose $L=[-2,2]= Supp(\varphi_n)$.
Il suffit de construire $(\varphi_n)$ tel que $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \to +\infty$ et $C ||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.
On a
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> = \displaystyle\int_{-a}^a \psi_n(x) dx
= \displaystyle\int_{-a}^{a_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{b_n}^a
$$
Puisque $\psi_n$ est continue, on choisit $0 < c_n < a_n$ et $d_n > b_n$ tels que $\psi_n(x)=0, \forall x \in ]-a,c_n[ \cup ]d_n,a[$.
Donc
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \geq \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx
$$
*** Question: pourquoi on a cette égalité $\displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x}$?
Merci par avance pour votre aide.
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#5 23-10-2017 16:43:59
- bib
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Re : ordre de vp 1/x
S'il vous plaît j'ai deux questions:
1. pourquoi est-ce qu'on utilise une suite de fonctions testes comme contre exemple au lieu d'une seule fonction teste?
2. Quand on trouve que $<T,\varphi_n> \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ et d'un autre côté $||\varphi_n||_{\infty} =1$. Qu'est ce qu'on écrit exactement pour montrer la contradiction? Est-ce qu'on passe à a limite? Je ne trouve pas comment conclure proprement.
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#6 23-10-2017 20:07:53
- Fred
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- Messages : 7 035
Re : ordre de vp 1/x
1. Ce serait possible avec une seule fonction, mais la rédaction serait un peu plus compliquée.
2. Ben oui, on passe à la limite : si on avait pour tout $n$, $|\langle T,\varphi_n\rangle|\leq C\|\varphi_n\|_\infty$, on aurait qu'une suite tendant vers $+\infty$ serait majorée : impossible!
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#7 23-10-2017 20:41:29
- bib
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Re : ordre de vp 1/x
Moi j'ai trouvé que $<T,\varphi_n> > C ||\varphi_n||$ après qu'est ce qu'on dit? Est-ce qu'on dit que $\lim_{n \to +\infty} <T,\varphi_n> > C \lim_{n \to +\infty}||\varphi_n||$ ? ou bien on dit qu'à partir d'un certain rang $n_0 \in \mathbb{N}$ on a $<T,\varphi_n> > ||\varphi_n[|$?
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#9 23-10-2017 21:03:44
- bib
- Membre
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Re : ordre de vp 1/x
Oui j'ai raisonné par l'absurde. Je choisis une suite de fonctions testes $(\varphi_n)$. D'un côté on a $<T,\varphi_n> \to +\infty$ lorsque $n \to +\infty$ et d'un autre côté on a $||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.Jusque là c'est ok.
Ma question est: qu'est ce qu'on écrit exactement comme conclusion?
Dernière modification par bib (23-10-2017 21:04:28)
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#10 23-10-2017 21:05:39
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : ordre de vp 1/x
Je vais finir par m'énerver!!!!! Il y a 3 minutes entre ton post et le mien!!!! Ne me dis pas que tu as eu le temps de réfléchir entre les deux!!!!
Je t'ai dit de relire le point 2. de mon post #6. Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans?????
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