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#1 22-10-2017 20:20:06

bib
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ordre de vp 1/x

Bonsoir,
on définit la valeur principale $vp \dfrac{1}{x}$ par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi\rangle=
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$, en sachant que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$
Pour montrer que l'ordre de $vp 1/x$ n'est pas 0, il suffit de montrer qu'il existe un compact $L$ de $\mathbb{R}$ tel que pour toute constante $C$, on a: $\exists \varphi \in \mathcal{D}_L(\mathbb{R}): |\langle vp \dfrac{1}{x}| > C \sup_{x \in L} |\varphi(x)|$
Pour ça j'ai trouvé l'exemple suivant: on construit une suite de fonctions plateaux $(\varphi_n)$. On pose $L=[-2,2]= Supp(\varphi_n)$.
Il suffit de construire $(\varphi_n)$ tel que $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \to +\infty$ et $C ||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.
On a
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> = \displaystyle\int_{-a}^a \psi_n(x) dx
= \displaystyle\int_{-a}^{a_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{b_n}^a
$$
Puisque $\psi_n$ est continue, on choisit $0 < c_n < a_n$ et $d_n > b_n$ tels que $\psi_n(x)=0, \forall x \in ]-a,c_n[ \cup ]d_n,a[$.
Donc
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \geq \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx
$$
*** Question: pourquoi on a cette égalité $\displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x}$?
Merci par avance pour votre aide.

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#2 23-10-2017 09:15:04

Fred
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Re : ordre de vp 1/x

Sans savoir exactement ce que sont $a_n,\ b_n$ etc... on ne peut pas te répondre avec plus de précision que de dire que ça vient sans aucun doute de l'égalité $\varphi_n(x)=\varphi_n(0)+x\psi_n(x)$.

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#3 23-10-2017 09:43:08

bib
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Re : ordre de vp 1/x

$a_n$ et $b_n$ sont censés être les bornes du compact $K$ surlequel la suite $(\psi_n)$ est égale à 1. Sinon alors pouvez vous me proposez un exemple de suite pour montrer que l'ordre n'est pas 1?

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#4 23-10-2017 11:45:12

Fred
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Re : ordre de vp 1/x

Donc la puisque $\varphi_n(x)=\varphi_n(0)+x\psi_n(x)$ et que $\varphi_n(0)=0$, ça répond à ta question!

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#5 23-10-2017 16:43:59

bib
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Re : ordre de vp 1/x

S'il vous plaît j'ai deux questions:
1. pourquoi est-ce qu'on utilise une suite de fonctions testes comme contre exemple au lieu d'une seule fonction teste?
2. Quand on trouve que $<T,\varphi_n> \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ et d'un autre côté $||\varphi_n||_{\infty} =1$. Qu'est ce qu'on écrit exactement pour montrer la contradiction? Est-ce qu'on passe à a limite? Je ne trouve pas comment conclure proprement.

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#6 23-10-2017 20:07:53

Fred
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Re : ordre de vp 1/x

1. Ce serait possible avec une seule fonction, mais la rédaction serait un peu plus compliquée.

2. Ben oui, on passe à la limite : si on avait pour tout $n$, $|\langle T,\varphi_n\rangle|\leq C\|\varphi_n\|_\infty$, on aurait qu'une suite tendant vers $+\infty$ serait majorée : impossible!

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#7 23-10-2017 20:41:29

bib
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Re : ordre de vp 1/x

Moi j'ai trouvé que $<T,\varphi_n> > C ||\varphi_n||$ après qu'est ce qu'on dit? Est-ce qu'on dit que $\lim_{n \to +\infty} <T,\varphi_n> > C \lim_{n \to +\infty}||\varphi_n||$ ? ou bien on dit qu'à partir d'un certain rang $n_0 \in \mathbb{N}$ on a $<T,\varphi_n> > ||\varphi_n[|$?

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#8 23-10-2017 21:00:19

Fred
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Re : ordre de vp 1/x

Je ne comprends pas ce que tu as écrit.... relis ce que j'ai écrit, cela me semble assez clair (tu fais un raisonnement par l'absurde, ne l'oublie pas, donc tu supposes que T est d'ordre 0).

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#9 23-10-2017 21:03:44

bib
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Re : ordre de vp 1/x

Oui j'ai raisonné par l'absurde. Je choisis une suite de fonctions testes $(\varphi_n)$. D'un côté on a $<T,\varphi_n> \to +\infty$ lorsque $n \to +\infty$ et d'un autre côté on a $||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.Jusque là c'est ok.
Ma question est: qu'est ce qu'on écrit exactement comme conclusion?

Dernière modification par bib (23-10-2017 21:04:28)

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#10 23-10-2017 21:05:39

Fred
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Re : ordre de vp 1/x

Je vais finir par m'énerver!!!!! Il y a 3 minutes entre ton post et le mien!!!! Ne me dis pas que tu as eu le temps de réfléchir entre les deux!!!!

Je t'ai dit de relire le point 2. de mon post #6. Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans?????

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#11 23-10-2017 21:12:58

bib
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Re : ordre de vp 1/x

Ok j'ai compris la conclusion. On écrit exactement ce qui est écrit dans votre post 6. Merci beaucoup pour l'aide.

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#12 23-10-2017 21:18:09

bib
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Re : ordre de vp 1/x

J'ai une dernière question s'il vous plaît: est-ce qu'on a $\varphi_n()=0$ ou bien $\psi_n(0)=0$? Moi je pense qu'on a $\psi_n(0)=0$ mais comment ça implique que $\varphi_n(0)=0$?

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#13 23-10-2017 22:50:35

bib
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Re : ordre de vp 1/x

ou bien je pense qu'on doit supposer que $\varphi_n(0)=0$ pour que ça marche

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