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Continuité et prologement par continuité

Bonsoir, j'ai une question sur un exercice de continuité.
Il s'agissait de dire montrer que la fonction définie sur R tq : f(x) =
- sin(1/x)  si x =/= 0
- 0 si   x = 0.

Pour résoudre cet exercice en cours nous avons montré que la fonction f(x) n'admet pas de limite en zéro (on l'a montré en prenant deux suites Xn et Yn qui tendent vers 0 en +oo mais pour lesquelles lim(f(Xn) =/= lim(f(Yn).
Je suis d'accord, mais n'aurions nous pas simplement pu prendre une suite Xn de R qui tend vers 0 en +oo et telle que f(Xn) tend vers 1 en +oo (par exemple en prenant Xn = 2/(Pi(4n+1)).

On a f(Xn) --> 1 (en +oo  i.e à mesure que Xn tend vers 0) or 1 =/= 0 (et 0 est la valeur de f(x) quand x=0), donc la fonction f n'est pas continue (ou du moins son prolongement par continuité est faussé).

Merci de me dire si mon raisonnement est correct :)

Yassine

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Re : Continuité et prologement par continuité

Bonsoir,
Comme ton énoncé n'est pas complet (tu as dis "montrer que" sans préciser ce qu'il fallait montrer) ...

Ce que tu proposes est correct s'il s'agit juste de montrer que $f$ telle que définie n'est pas continue en $0$.
Le résultats de ton cours est plus fort, il montre qu'il n'existe pas de prolongement par continuité de $f$ en $0$.

Dernière modification par Yassine (23-10-2017 19:50:31)

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel