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#1 18-10-2017 18:59:35

dony1
Invité

fonction mesurable

Salut, j'ai besoin de votre aide:
Soit [tex](X,\mathcal{A})[/tex] un espace mesurable, [tex]f: X\rightarrow  \mathbb{R}[/tex]
et pour tout [tex]M>0, on \ designe \ par \ f_{M} \ l'app \ definie \ par :[/tex]

[tex]f_{M}(x)= \left\lbrace\begin{matrix} f(x) \ si \ |f(x)|\leq M \\ M \ si \ f(x)>M \\ -M \ si \ f(x)<-M \end{matrix}\right.[/tex]


prouver que si [tex]f_M[/tex] est mesurable pour tout M>0, alors f est mesurable
alors si je prends un borelien $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ alors comment verifier que $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}?$

merci d'avance

#2 18-10-2017 22:08:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : fonction mesurable

Bonjour,

  J'ai l'impression que tu peux utiliser que $f^{-1}(B\cap ]-M,M[)=f_M^{-1}(B\cap ]-M,M[)\in\mathcal A$....

F.

Hors ligne

#3 18-10-2017 22:33:00

dony1
Invité

Re : fonction mesurable

salut, mais cela ne suffit pas, car $B=(B \cap[-M;M] )\cup(B \cap]M;+\infty[) \cup(B \cap]-\infty;-M[)$
je pense qu'il faut aussi verifier que $f^{-1}(B \cap]M;+\infty[) \in \ \mathcal{A} \ et \ que \ f^{-1}(B \cap]-\infty;-M[) \in \mathcal{A}$

mais je ne sais pas comment...

#4 18-10-2017 22:44:45

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : fonction mesurable

Certes, mais $f^{-1}(B)=\bigcup_{M\in\mathbb N}f^{-1}(B\cap ]-M,M[)....$

Hors ligne

#5 22-10-2017 20:01:52

dony1
Invité

Re : fonction mesurable

je pense qu'on peut aussi resoudre la question de la facon suivant
$pour \ tout \ n \in \mathbb{N}, f_n \ est \ mesurable \ et \ f_n \rightarrow ^{CS} f$
alors f est mesurable

merci pour l'aide!!

#6 23-10-2017 08:12:10

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : fonction mesurable

Très juste. D'ailleurs, si on regarde bien ce qu'il y a derrière ce résultat, on arrive presque à la même preuve!

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