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#1 20-10-2017 11:02:22
- bib
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vp 1/x
Bonjour,
pour voir si la valeur principale de Cauchy est bien définie, ce qui revient à vérifier si la limite $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$ existe, on commence d'abord par voir ce que vaut l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Comment et pourquoi on pense à ça? S'il vous plaît.
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#2 20-10-2017 12:04:11
- Fred
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Re : vp 1/x
Bonjour,
Présenté comme cela, c'est très parachuté!!! Je vois plutôt les choses de la façon suivante : dans l'intégrale, il peut y avoir un problème en 0 et c'est important de savoir comment $\varphi$ se comporte en $0$. Pour cela, on réalise un développement de $\varphi$ en $0$. Le plus simple (mais il est très précis) est obtenu en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral, c'est-à-dire en écrivant $\varphi(x)=\varphi(0)+\int_0^x \varphi'(u)du$. En faisant le changement de variables $u=tx$ dans ton intégral, on obtient l'intégral que tu décris. Mais en réalité, je crois que ce qui est important, c'est que l'on puisse écrire $\varphi(x)=\varphi(0)+x\psi(x)$, avec $\psi$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$.
F.
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#3 20-10-2017 15:01:57
- bib
- Membre
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Re : vp 1/x
Si je comprend bien, on a pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$: $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi\rangle= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$.
On cherche à savoir si $vp \dfrac{1}{x}$ est une distribiution, et pour ça on commence par montrer qu'elle est bien définie, ce qui revient à voir si la limite de l'intégrale $\displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$ existe.
Question 1: ici l'intégrale n'est pas définie en 0, alors pourquoi on chercherait s'il y a des problèmes en 0?
On utilise le théorème fondamentale du calcul intégrale qui permet d'écrire $\varphi(x)= \varphi(0)+ \displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du$.
Quetion 2: qu'est ce qui nous amène ou nous fait penser à faire le changement de variable $u=x t$?
On a alors
$$
\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx
+ \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{t}{x} (\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt) dx.
$$
Comment on conclut proprement? S'il vous plaît.
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#4 20-10-2017 15:54:32
- Fred
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Re : vp 1/x
Question1. Tu fais tendre epsilon vers 0 donc tu t'interesses quand même au comportement en 0.
Question 2. Tu fais des erreurs de calcul qui ne sont pas acceptables quand on étudie un sujet aussi avancé ! Tu as fait une erreur dans ton changement de variables !
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#5 20-10-2017 19:09:05
- bib
- Membre
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Re : vp 1/x
Oui pardon, j'ai fait une erreur de frappe. Je reprend.
On fait le changement de variable $u=tx$ avec $t \in [0,1]$, et on a ainsi: $\displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du = x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Donc on a
$$
\dfrac{\varphi(x)}{x}= \dfrac{\varphi(0)}{x}+ \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
$$
on note $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$ et on a
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
J'ai deux questions s'il vous plaît.
1. Comment justifier le fait que $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$?
2. On a $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]= \displaystyle\int_{-a}^0 \psi(x) dx + \displaystyle\int_0^a \psi(x) dx= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx$.
C'est bon?
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#7 20-10-2017 21:00:21
- bib
- Membre
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Re : vp 1/x
Justement pour 1 c'est ce que j'ai fait, et j'obtiens ceci:
$$
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]
=
\varphi(0). \lim_{\epsilon \to 0} [\ln(a)- \ln(\epsilon)+\ln(-\epsilon)-\ln(-a)]
$$
en sachant que $\lim_{\epsilon \to 0} \ln(\epsilon)=-\infty$, je suis un peu déroutée sur la façon dont tout ça nous donne la limite 0. Comment? S'il vous plaît.
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#10 21-10-2017 11:44:30
- bib
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Re : vp 1/x
Quand il y a un problème en 0, on fait un développement de Taylor avec reste de Young par exemple, ou bien on utilise le théorème du calcul intégral pour connaître le comportement de la fonction en 0. Comment cela nous donne des informations sur le comportement de la fonction en 0? S'il vous plaît.
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#11 21-10-2017 20:06:44
- bib
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Re : vp 1/x
Je veux dire qu'il est clair qu'il y a un problème en 0 avec la fonction $\dfrac{\varphi(x)}{x}$ qui n'est pas définie en 0. Alors quelle information on espère trouver par un développement de Taylor ou bien l'utilisation du théorème de calcul intégrale? S'il vous plaît. Est-ce qu'on espère la disparition du $x$ au dénominateur?
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#14 22-10-2017 01:22:29
- bobo
- Invité
Re : vp 1/x
une primitive de 1/x c'est ln(|x|) au passage.
#15 22-10-2017 20:18:29
- bib
- Membre
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Re : vp 1/x
Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$
et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.
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#16 22-10-2017 20:39:56
- Fred
- Administrateur
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Re : vp 1/x
Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$
C'est quoi cette règle ? Si la fonction est x^2 tu en penses quoi ?
et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.
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#17 22-10-2017 20:46:25
- bib
- Membre
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Re : vp 1/x
non, c'est parce que la fonction $\dfrac{1}{x}$ est symétrique alors on a $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$. Désolée pour la question idiotte, ce point est réglé.
Dernière modification par bib (23-10-2017 00:25:35)
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