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#1 16-10-2017 17:30:12

bib
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Théorème de la parition de l'unité

Bonjour,
le théorème de partition de l'unité dit la chose suivante: soit un compact $K$ tel que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j$ telle que $(\Omega_j)$ une famille d'ouverts. Alors il existe $\varphi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tels que:
1. $\forall j=1,...,n: 0 \leq \varphi_j \leq 1$
2 $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ au voisinage de $K$.

Voici la preuve que j'ai trouvé, mais je n'ai pas compris toutes les étapes.
On a par un théorème qu'il existe une famille de compacts $(K_j)$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ et $K \subset \cup_{j=1}^n K_j$.
En appliquant un résultat d'Urysohn sur $K_j$, il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tels que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage ouvert $K'_j$ de $K_j$.
On pose $V=\cup_{j=1}^n K'_j$ qui est un voisinage ouvert de $K$. En appliquant Urysohn sur $V$, il existe $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$.
On pose
$$
1-\theta(x)=\psi_0(x)
=
\begin{cases}
1 &:x \in C V\\
0 &: x \in W
\end{cases}
$$
On remarque que $1- \theta \notin \mathcal{D}$. On pose
$$
\varphi_j= \dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i} \in \mathcal{D}(\Omega_j), j=1,...,n.
$$
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i >0$ car pour tout $x \in V$ on a $\sum_{j=0}^n \psi_j= \psi_0+ \sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ et si $x \in C V$ alors $\psi_0=1$.
Alors,

$$\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}.$$
On remarque que pour $x \in W$, on a $\psi_0=0$ qui implique que $\sum_{j=1}^n =1$.

Mes questions sont, s'il vous plaît:
1. Pourquoi introduire la fonction $1-\theta(x)= \psi_0(x)$? et pourquoi s'interesser à sa valeur sur $C V$?
2. Pourquoi ne pas prendre directement $\varphi_j = \dfrac{\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$? au lieu de rajouter le $\psi_0$ au dénominateur?
Merci par avance pour votre aide.

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#2 16-10-2017 17:56:24

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

Je crois que la réponse aux deux questions est la même : on introduit $\psi_0$ pour avoir au dénominateur quelque chose qui est toujours strictement positif, et qui soit égal à $\sum_{j=1}^n \psi_j$ sur $W$.

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#3 16-10-2017 18:12:38

bib
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Re : Théorème de la parition de l'unité

1. Mais $\sum_{j=1}^n \psi_j(x)$ est toujours strictement positif. Non? Il ne peut pas s'annuler.
2. On a définit $1-\theta$ sur $C V$ et sur $W$ qui est un voisinage de $K$, et $V$ aussi est un voisinage de $K$, mais $W$ est inclus dans $V$. Je ne comprend pas comment on a l'idée de penser à introduire $1- \theta$ et de le définir sur $C V$ et $W$ exactement? Pourquoi s'interesser à la valeur de $1-\theta$? Et pourquoi précisément sur $C V$ et $W$?
3. $\varphi_j$ comme elle est définie, pourquoi c'est une fonction teste sur $\Omega_j$? Je mélange tout et n'arrive pas à faire le lien entre $W, C V$ et $\Omega_j$

Dernière modification par bib (16-10-2017 18:20:16)

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#4 16-10-2017 20:39:33

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

Je pense que tu devrais faire un dessin pour t'aider. Et en réponse à ta question 1. pourquoi ce serait strictement positif ?

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#5 16-10-2017 20:42:34

bib
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Re : Théorème de la parition de l'unité

parce que $\psi_j=1$ au voisinage de $K_j$ pour tout j, donc la somme devrait être strictement positive. Pourquoi ça peut être nul?

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#6 16-10-2017 20:48:31

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

La reunion des K_j n'est pas l'espace tout entier !

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#7 16-10-2017 20:54:52

bib
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Re : Théorème de la parition de l'unité

je ne comprend pas. Je sais que ce n'est pas l'espace tout entier mais je ne vois pas le lien avec le fait qu'on peur avoir $\sum_{j=1}^n \psi_j=0$

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#8 16-10-2017 21:54:59

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

A part sur $K'_j$, tu ne sais pas comment se comporte $\psi_j$ et où elle peut être nulle.
A part si $x\in\bigcup_j K'_j$, je suis incapable de savoir si $\sum_{j=1}^n \psi_j(x)$ est non-nulle.

F.

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#9 16-10-2017 22:04:23

bib
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Re : Théorème de la parition de l'unité

Donc si on pose $\varphi_j(x)= \dfrac{\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$, le dénominateur doit être défini sur $\Omega$? C'est ça? Si oui, pourquoi il doit être défii sur tout $\Omega$?

Dernière modification par bib (16-10-2017 22:07:47)

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#10 16-10-2017 22:35:52

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

Ben, si tu veux définir une fonction sur $\Omega$ comme un quotient, tu as intérêt à ce que le dénominateur ne s'annule pas sur $\Omega$, je ne vois pas où est le problème!

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#11 16-10-2017 22:45:10

bib
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Re : Théorème de la parition de l'unité

Mais parce que $\varphi_j$ doit être définie sur $\Omega_j$ pas sur $\Omega$. Alors pourquoi chercher à ce que $\varphi_j$ soit définie sur $\Omega$ tout entier?

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#12 17-10-2017 05:19:35

Fred
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Re : Théorème de la parition de l'unité

De toute façon rien ne te dit non plus que ça ne s'annule pas sur  $ \Omega_j $

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