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#1 16-10-2017 18:30:12
- bib
- Membre
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Théorème de la parition de l'unité
Bonjour,
le théorème de partition de l'unité dit la chose suivante: soit un compact $K$ tel que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j$ telle que $(\Omega_j)$ une famille d'ouverts. Alors il existe $\varphi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tels que:
1. $\forall j=1,...,n: 0 \leq \varphi_j \leq 1$
2 $\sum_{j=1}^n \varphi_j=1$ au voisinage de $K$.
Voici la preuve que j'ai trouvé, mais je n'ai pas compris toutes les étapes.
On a par un théorème qu'il existe une famille de compacts $(K_j)$ tels que $K_j \subset \Omega_j$ et $K \subset \cup_{j=1}^n K_j$.
En appliquant un résultat d'Urysohn sur $K_j$, il existe $\psi_j \in \mathcal{D}(\Omega_j)$ tels que $0 \leq \psi_j \leq 1$ et $\psi_j=1$ sur un voisinage ouvert $K'_j$ de $K_j$.
On pose $V=\cup_{j=1}^n K'_j$ qui est un voisinage ouvert de $K$. En appliquant Urysohn sur $V$, il existe $\theta \in \mathcal{D}(V)$ tel que $\theta=1$ sur un voisinage $W$ de $K$.
On pose
$$
1-\theta(x)=\psi_0(x)
=
\begin{cases}
1 &:x \in C V\\
0 &: x \in W
\end{cases}
$$
On remarque que $1- \theta \notin \mathcal{D}$. On pose
$$
\varphi_j= \dfrac{\psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i} \in \mathcal{D}(\Omega_j), j=1,...,n.
$$
On remarque que $\sum_{i=0}^n \psi_i >0$ car pour tout $x \in V$ on a $\sum_{j=0}^n \psi_j= \psi_0+ \sum_{j=1}^n \psi_j > 0$ et si $x \in C V$ alors $\psi_0=1$.
Alors,
$$\sum_{j=1}^n \varphi_j = \dfrac{\sum_{j=1}^n \psi_j}{\sum_{i=0}^n \psi_i}.$$
On remarque que pour $x \in W$, on a $\psi_0=0$ qui implique que $\sum_{j=1}^n =1$.
Mes questions sont, s'il vous plaît:
1. Pourquoi introduire la fonction $1-\theta(x)= \psi_0(x)$? et pourquoi s'interesser à sa valeur sur $C V$?
2. Pourquoi ne pas prendre directement $\varphi_j = \dfrac{\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$? au lieu de rajouter le $\psi_0$ au dénominateur?
Merci par avance pour votre aide.
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#2 16-10-2017 18:56:24
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Théorème de la parition de l'unité
Je crois que la réponse aux deux questions est la même : on introduit $\psi_0$ pour avoir au dénominateur quelque chose qui est toujours strictement positif, et qui soit égal à $\sum_{j=1}^n \psi_j$ sur $W$.
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#3 16-10-2017 19:12:38
- bib
- Membre
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- Messages : 192
Re : Théorème de la parition de l'unité
1. Mais $\sum_{j=1}^n \psi_j(x)$ est toujours strictement positif. Non? Il ne peut pas s'annuler.
2. On a définit $1-\theta$ sur $C V$ et sur $W$ qui est un voisinage de $K$, et $V$ aussi est un voisinage de $K$, mais $W$ est inclus dans $V$. Je ne comprend pas comment on a l'idée de penser à introduire $1- \theta$ et de le définir sur $C V$ et $W$ exactement? Pourquoi s'interesser à la valeur de $1-\theta$? Et pourquoi précisément sur $C V$ et $W$?
3. $\varphi_j$ comme elle est définie, pourquoi c'est une fonction teste sur $\Omega_j$? Je mélange tout et n'arrive pas à faire le lien entre $W, C V$ et $\Omega_j$
Dernière modification par bib (16-10-2017 19:20:16)
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#8 16-10-2017 22:54:59
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Théorème de la parition de l'unité
A part sur $K'_j$, tu ne sais pas comment se comporte $\psi_j$ et où elle peut être nulle.
A part si $x\in\bigcup_j K'_j$, je suis incapable de savoir si $\sum_{j=1}^n \psi_j(x)$ est non-nulle.
F.
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#9 16-10-2017 23:04:23
- bib
- Membre
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- Messages : 192
Re : Théorème de la parition de l'unité
Donc si on pose $\varphi_j(x)= \dfrac{\psi_j}{\sum_{j=1}^n \psi_j}$, le dénominateur doit être défini sur $\Omega$? C'est ça? Si oui, pourquoi il doit être défii sur tout $\Omega$?
Dernière modification par bib (16-10-2017 23:07:47)
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