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#1 09-10-2017 19:37:06

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 73

Fonctions infiniment dérivables

Bonjour,
on considère la fonction $\varphi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par
$$
\varphi(t)
=
\begin{cases}
e^{-1/t}, &t >0\\
0:&t \leq 0
\end{cases}
$$
Je cherche à montrer que $\varphi$ est infiniment dérivable au point $t=0$. Tout d'abord, j'ai montré que $\varphi$ est continue en $t=0$. Puis, on a
$$
\lim_{t \to 0^+} \dfrac{\varphi(t)-\varphi(0)}{t}= \lim_{t \to 0} \dfrac{e^{-1/t}}{t}=0= \lim_{t \to 0^-} \dfrac{\varphi(t)}{t}
$$
on conclut que $\varphi$ est dérivable en $t=0$ et que $\varphi'(0)=.0$.
Maintenant pour montrer qu'elle est infiniment dérivable au point $t=0$, je calcule quelques dérivées, et je conclus que
$$
\varphi^{(n)}(t)= (\dfrac{\alpha_1}{t^{n+1}}+ \dfrac{\alpha_2}{t^{n+2}}+ ...+ \dfrac{\alpha_n}{t^{2n}})e^{-1/t}
$$

Mon problème est de montrer par récurrence que cette relation est vraie. Pour $n=$ elle est vraie, on suppose qu'elle est vraie pour $n$ et on la montre pour $n+1$. On doit trouver que
$$
\varphi^{(n+1)}(t)= (\dfrac{a_1}{t^{n+2}}+ \dfrac{a_2}{t^{n+3}}+ ...+ \dfrac{a_n}{t^{2(n+1)}})e^{-1/t}
$$
pour ça, je dérive $\varphi^n(t)$ et là je suis complétement noyée dans les calculs et je n'arrive pas à obtenir ce qu'on cherche. Donnez moi s'il vous plaît une méthode simple pour montrer cette relation par réccurence.

Dernière modification par bib (09-10-2017 19:39:34)

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#2 09-10-2017 19:54:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 582

Re : Fonctions infiniment dérivables

Bonsoir

  Je te conseille de démontrer par récurrence que  $ \varphi^{(n)}(t)=P_n(1/t)\exp(-1/t) $ avec  $ P_n $ un polynôme. C'est suffisant pour ce que tu veux faire et ça te simplifiera les calculs.

Fred

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#3 09-10-2017 20:04:30

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 73

Re : Fonctions infiniment dérivables

Je suis un peu perdue.
1.Donc on suppose que $\varphi^{(n)}$ est vrai est on montre que $\varphi^{(n+1)}= P_{n+1}(t) \exp(-1/t)$. Ma question est s'il vous plaît comment le démontrer? Qui est $P_n$ et qui est $P_{n+1}$ et comment conclure? Donnez moi les grandes lignes s'il vous plaît.

2. Après ça pour conclure que $\varphi$ est indéfiniment dérivable en $0$ on calcule $\lim_{t \to 0} \varphi^{(n)}(t)$? et on doit la trouver $0$? Comment on fait ce calcul sans connaître $P_n$ de manière explicite? S'il vous plaît

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#4 09-10-2017 21:05:39

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 556

Re : Fonctions infiniment dérivables

Bonsoir,

Ce que veut dire Fred c'est qu'il est suffisant de savoir que les dérivées successives de $\varphi$ sont des produits d'un polynôme et d'une exponentielle. Tu t'en serviras effectivement pour le point 2 en utilisant les croissances comparées (typiquement
$\lim_{y\to + \infty} P(y)\mathrm e^{-y} = 0$ dès que $P$ est un polynôme).

Pour ta question 1, si tu supposes $\varphi^{(n)}(t) = P_n(1/t)\mathrm e^{-1/t}$, comment s'écrit $\varphi^{(n+1)}(t)$ ?
Tu verras que c'est encore de la forme $Q(1/t)\mathrm e^{-1/t}$, tu pourras donc poser $P_{n+1}=Q$.

Roro.

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#5 09-10-2017 21:39:23

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 73

Re : Fonctions infiniment dérivables

Ok, je pense que j'ai compris. Je repends.
On montre parrécurrence que $\varphi^{(n)}(t)= P_n(1/t) e^{-1/t}$ avec $P_n$ un polynôme d'ordre $n$.
Pour $n=1$ on a $\varphi^{(1)}(t)= \dfrac{1}{t^2} e^{-1/t}$ qui est vérifiée.
On suppose que la relation est vraie pour $n$ et on montre qu'elle reste vraie pour $n+1$ ce qui conciste à montrer que $\varphi^{(n+1)}$ s'écrit sous la forme d'un polynôme multiplié par $e^{-1/t}$. On a:
$$
\varphi^{(n+1)}(t)= (P'_n(1/t) - 1/t P_n(1/t)) e^{-1/t}= Q_{n+1} (1/t) e^{-1/t}
$$
Maintenant qu'on a trouvé la relation générale de $\varphi^{(n)}$, on passe à la limite quand $t$ tend vers 0.
Si c'est bon ce que j'ai écris, j'ai une question s'il vous plaît.
Je ne comprend pas pourquoi pour dire que $\varphi$ est indéfiniment dérivable en $t=0$, il suffit de trouver que $\lim_{t \to 0} \varphi^{(n)}(t)=\varphi'(0)$?

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#6 09-10-2017 22:35:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 582

Re : Fonctions infiniment dérivables

Parce que tu as un théorème (le théorème de prolongement d'une dérivée) qui te dit que si, pour tout $n$, $\varphi^{(n)}(t)$ admet une limite $\ell_n$ quand $t$ tend vers 0, (pour $\varphi$ par ailleurs $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^*$), alors $\varphi$ est $\mathcal C^\infty$ et vérifie $\varphi^{(n)}(0)=\ell_n$ pour tout $n$.

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#7 09-10-2017 22:59:42

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 73

Re : Fonctions infiniment dérivables

D'après le lien suivant
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … rivee.html

c'est $\lim_{t \to 0} \dfrac{\varphi^{(n)}(t)}{t}$ qu'on devrait calculer. Non?

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#8 10-10-2017 05:39:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 582

Re : Fonctions infiniment dérivables

Oui c'est ce théorème.
Mais non ce n'est pas cette limite qu'il faut calculer.

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#9 16-10-2017 16:40:21

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 73

Re : Fonctions infiniment dérivables

Bonjour,
je ne comprend pas alors ce que dit le théorème du prolongement de la dérivée, dans le théorème qui est dans le lien, ce n'est pas la limite de la dérivée qui est calculée. C'est quoi l'énoncé exacte? S'il vous plaît.

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#10 16-10-2017 16:49:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 582

Re : Fonctions infiniment dérivables

Tu confonds les hypothèses et la conclusion du théorème ! Si  $ f' $  admet une limite alors  $ f $ est dérivable c'est-à-dire son taux d'accroissement admet une limite.

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