Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 14-10-2017 14:35:20
- Marco11
- Membre
- Inscription : 07-09-2017
- Messages : 42
Suite définie par récurrence
Bonjour à tous!
J'aimerais déterminer l'expression de la suite réelle $x_n$ définie par récurrence ainsi qu'il suit:
$ x_{n+4}= 4x_{n+3}-9x_{n+2}+10x_{n+2}-4x_n $, et $x_0=0, x_1=1, x_2=-1, x_3=0$.
La matrice $A$ associée que j'ai obtenue admet 1 comme racine double et deux racines complexes. Je ne sais comment faire pour calculer $A^n$.
Donnez-moi quelques indications s'il vous plaît.
Hors ligne
#4 14-10-2017 16:23:09
- leon1789
- Membre
- Inscription : 27-08-2015
- Messages : 1 203
Re : Suite définie par récurrence
Pour que A soit diagonalisable, il est nécessaire (et suffisant) que chaque sous-espace propre soit de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre associée en tant que racine du polynôme caractéristique.
Je n'ai pas vérifié tes calculs. Si l'espace propre associé à 1 est de dimension 1 (comme tu le dis), alors la matrice A n'est pas diagonalisable.
Donc, on peut passer à une autre méthode : pour calculer $A^n$ as-tu vu une méthode à base de division euclidienne de polynômes ?
Hors ligne
#6 14-10-2017 17:59:44
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Suite définie par récurrence
Un petit exemple vaut sans doute mieux qu'un long discours. Regarder cet exercice
Hors ligne
#10 15-10-2017 13:17:01
- Marco11
- Membre
- Inscription : 07-09-2017
- Messages : 42
Re : Suite définie par récurrence
Merci bien. J'ai essayé cette méthode là. Mais,le système obtenu un système complexe,pourtant la suite est réelle. Le polynôme caractéristique est : $ P=X^4-4X^3+9X^2-10X+4 $.Que puis-je faire s'il vous plaît?
Hors ligne
#11 15-10-2017 16:41:19
- pedestre
- Membre
- Inscription : 28-09-2011
- Messages : 16
Re : Suite définie par récurrence
Bonjour,
Le polynôme annulateur (réel) a donc la racine double $1$ et 2 racines complexes conjuguées qu'on peut écrire $\rho e^{\pm i\theta}$. Sur le corps des complexes les suites solutions sont les suites $(An+B)+C e^{ i n \theta}+D e^{- i n \theta}$. Il reste à exprimer les exponentielles complexes sous forme trigonométrique et à imposer les conditions initiales. Ces conditions initiales imposent la réalité des coefficients et donc de la suite demandée. Le passage par les complexes pour obtenir un résultat réel a été abondamment pratiqué depuis l'invention des nombres complexes (et a même été la raison de cette invention)!
Hors ligne
Pages : 1