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convergence d'intégrale

Bonjour à tous.

j'ai la question suivante:

Soit $f$ une fonction numérique de classe $C^2$ sur $[0,+\infty[$. On suppose que $\displaystyle\int_0^{+\infty}f^2(x)\mathrm{d}x$ et $\displaystyle\int_0^{+\infty}f''\,^2(x)\mathrm{d}x$ convergent. Montrer que $\displaystyle\int_0^{+\infty}f'\,^2(x)\mathrm{d}x$ converge...

J'ai pensé à intégrer par parties  $\displaystyle\int_0^{X}f'^2(x)\mathrm{d}x =  f'(X)f(X)-f'(0)f(0)-\displaystyle\int_0^X f(x)f"(x)\mathrm{d}x$. L'intégrale subsistante se majore facilement en valeur absolue par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, mais il me reste le méchant terme $f(X)f'(X)$ dont je ne sais que faire...

Merci de votre aide

Fred

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Re : convergence d'intégrale

Salut,

  Il y a une astuce! Si $\int_0^{+\infty}f'^2(x)dx$ diverge, alors ta relation nous dit que $f'(X)f(X)$ tend vers $+\infty$ si $X\to+\infty$. Oui, mais alors $\int_0^X f'(t)f(t)dt$ tend aussi vers $+\infty$ quand $X$ tend vers $+\infty$, et cette intégrale vaut $f^2(X)$. Et il est impossible que $f^2(X)\to+\infty$ puisque $\int_0^{+\infty}f^2(t)dt$ converge.

Fred.

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Re : convergence d'intégrale

Fred,

Merci beaucoup. C'est vraiment le raisonnement qui me faisait défaut

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