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#1 03-10-2017 08:22:42

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Discriminant d'un polynôme

Bonjour à tous,

petit message pour dire que la définition du discriminant d'un polynôme donnée ici
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … ltant.html
n'est pas totalement correcte.

Elle est correcte sous l'une de ces hypothèses :
1) quand la caractéristique du corps K ne divise pas le degré de P
2) ou lorsque le polynôme P est unitaire.

Faites le calcul avec P = aX² + bX + c en caractéristique 2 :
vous verrez que la formule donnée aboutit à b²/a et non b² (le 4ac valant 0 en caractéristique 2).

Cordialement

Dernière modification par leon1789 (03-10-2017 08:29:55)

Hors ligne

#2 03-10-2017 11:28:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : Discriminant d'un polynôme

Merci, je vais regarder cela d'un peu plus près rapidement.

F.

Hors ligne

#3 11-10-2017 23:56:38

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 24
Site Web

Re : Discriminant d'un polynôme

Salut,

Il existe une généralisation simple du discriminant, [tex]P(x)=x^n+a_nx^{n-1}+...+a_1[/tex] tel que [tex]\forall x\leq 0, P(x)\neq 0[/tex]
Si [tex]\Delta = a_n^n-n^na_1<0[/tex] alors [tex]P[/tex] a au moins une racine non réel.

PS : il existe une généralisation plus compliqué cf wiki.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (12-10-2017 19:36:33)


Raisonnement Empirique : A est EC si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus

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#4 13-10-2017 15:03:30

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Re : Discriminant d'un polynôme

Bonjour

Sur Wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Discrimin … A9t.C3.A9s
la définition donnée est sous l'hypothèse que la caractéristique de l'anneau intègre ne divise pas le degré de P (autrement dit, le degré de la dérivée de P ne chute pas).

Mais cela n'est pas la définition générale du discriminant, qui, elle, est valable dans un anneau commutatif quelconque.

Hors ligne

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