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#1 05-10-2017 22:44:33

karengoul
Invité

tribu et application mesurable

Salut, j'ai besoin de votre aide :
S'il vous plait, j'aimerai savoir s'il y a une faute dans la resolution de la question 1), pour les questions 2) et 3), j'ai bloqué, alors pouvez vous me donner une indication pour les resoudre :

Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable et soit $\sim$ une relation d'equivalence sur E. On note par $\mathcal{T}$ l'ensemble des classes d'equivalence et par $\tilde{\mathcal{A}}$ la partie de $\mathcal{P}(E)$ constitué des elements de $\mathcal{A}$ qui sont des reunions (quelconques) d'elements de $\mathcal{T}:$
$\tilde{\mathcal{A}}=\left\{{X \in \mathcal{A};X=\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X)}{K}} \right\}$.
1) Prouver que $\tilde{\mathcal{A}}$est une tribu sur E.
2) Prouver qu'une application$f:E\rightarrow \mathbb{R}$ est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}( \mathbb{R}))-mesurable$ si et seulement si f est $(\mathcal{A},\mathcal{B}( \mathbb{R}))-mesurable$ et est constante sur les classes d'equivalence.
3) On prend $E=\mathbb{R} \ (\mathcal{A}=\mathcal{B}(\mathbb{R}))$  et on considere la relation d'equivalence $\sim$ definie par:
$\forall x,y \in E,x\sim y \Leftrightarrow \left|x \right|=\left|y \right|$
Identifier dans ce cas $\tilde{\mathcal{A}}$ et trouver toutes les applications $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ qui \ sont \ (\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{A})-mesurables.$

pour la premiere question 1) :

$i) \ E=\bigcup_{K \in \mathcal{T}}{K}$(car les classes d'equivalence forment une partition de E), alors $E \in \tilde{\mathcal{A}}$

ii) Soit $X \in \tilde{\mathcal{A}}, prouvons \ que \ \ X^C =\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X^C)}{K} \ (X^C \ designe \ le \ complementaire \ de \ X \ dans \ E)$
Alors soit $x \in X^C,$

$x \in X^C\Leftrightarrow x \notin X \Leftrightarrow x \notin \bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap\mathcal{P}(X)}{K} \Leftrightarrow \forall \ K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X), x \notin K \Leftrightarrow \exists K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X);x \in K \Leftrightarrow x \in \bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap\mathcal{P}(X^C)}{K},$

Alors $X^C \in \tilde{\mathcal{A}}$

iii) soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une famille d'elements de $\tilde{\mathcal{A}},$prouvons que $\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n}=\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n})}{K}$ $Soit \ x \in \bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n} \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N};x \in X_n \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}, x \in \bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X_n)}{K} \Leftrightarrow \exists n \in \mathbb{N}; \exists K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(X_n);x \in K \Leftrightarrow \exists K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n} \right); x \in K$
$D'où \ x \in \bigcup_{ K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n} \right)}{K}\ et \bigcup_{ K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}\left(\bigcup_{n \in \mathbb{N}}{X_n} \right)}{K} \in \tilde{\mathcal{A}}$

pour la question 2) :
$pour \ le \ sens \Rightarrow, c'est \ facile \ de \ prouver \ que \ f \ est \ (\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$
mais comment prouver qu'elle constante sur les classes d'equivalence ?
je connais qu'il faut prouver que
$\forall x,y \in E, x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y),$ (comment proceder?)

Pour la question 3) :
l'ensemble $\mathcal{T}$ sera :$\mathcal{T}=\left\{\left\{x;-x \right\} ;x \in \mathbb{R} \right\}$, alors que sera $\tilde{\mathcal{A}} ?$
et comment caracteriser les applications f ? (je pense que f est la valeur absolue, mais comment prouver cela?)

merci d'avance

#2 05-10-2017 22:53:11

karengoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

aussi, comment prouver l'autre sens $\Leftarrow $ dans la question 2) (que f est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}{\mathbb({R}))-mesurable$)

merci

#3 05-10-2017 22:56:29

karengoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

excusez moi :
aussi, comment prouver l'autre sens $\Leftarrow $ dans la question 2) (que f est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}{\mathbb({R}}))-mesurable$)
merci

#4 06-10-2017 07:29:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 762

Re : tribu et application mesurable

Bonjour,

  Pour le 2., implication directe, je te propose une question intermédiaire :
Pour $x\in E$, on note $K_x$ sa classe d'équivalence. Soit $X\in\tilde{\mathcal A}$. Démontre que si $x\in X$ alors $K_x\subset X$.

Ensuite, pour démontrer que $f$ est constante sur les classes d'équivalence, tu considères $K$ une telle classe, $x\in K$, et $X=f^{-1}(\{f(x)\})$ de sorte que $x\in X$...

Pour la réciproque, prends $U\in\mathcal B(\mathbb R)$ et considère $X=f^{-1}(U)$. Alors $X\in\mathcal A$. Ecris ensuite
$X=\bigcup_{x\in X}\{x\}$ et prouve (par double inclusion) que $X=\bigcup_{x\in X}K_x$.

Pour la question 3, que signifie que $f$ est constante sur les classes d'équivalence? Tu verras qu'il y a bien d'autres solutions que la fonction valeur absolue!

F.

Hors ligne

#5 06-10-2017 14:13:36

karengoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

Salut, la resolution de la question 1) est-elle correcte?
Pour la question 2) :
le sens directe si je prend deux elements x et y de E tel que $x~y \ (y \in \bar{x}),$ on a
$f^{-1}(\left\{ f(x)\right\})=\bigcup_{K \in \mathcal{T}  \ et \ K \subset f^{-1}(\left\{ f(x)\right\})}{K}$

$f^{-1}(\left\{ f(x)\right\})=\left\{w \in E;f(w)=f(x) \right\}$ mais pourquoi toutes les classes d'equivalence sont inclus dans
$f^{-1}(\left\{ f(x)\right\})$ ? (pour dire que $y \in \bigcup_{K \in \mathcal{T}  \ et \ K \subset f^{-1}(\left\{ f(x)\right\})}{K}$)

#6 06-10-2017 17:15:12

Fred
Administrateur
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Messages : 4 762

Re : tribu et application mesurable

As-tu bien lu mon indication??? Essaie de répondre à la question intermédiaire que j'ai posé...

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#7 06-10-2017 22:16:49

karengoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

le raisonnement suivant est-il correcte :

2)

$\Rightarrow$ : on suppose que f est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$
Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ alors $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ et f est $(\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$

Soit $x, y \in E$ tel que $x \sim y,$ $f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) =\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(f^{-1}(\left\{f(x)\right\}))}{K},$ or $x \in f^{-1}(\left\{f(x) \right\}),$ alors :
$\exists \ K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(f^{-1}(\left\{f(x) \right\}));x \in K$
mais $x\sim y$ alors $y \in K \subset f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) ,$

d'ou $f(x)=f(y)$

$\Leftarrow :,$ on suppose que $(\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$ et qu'elle est constante sur les classes d'equivalence,
Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), or \ f^{-1}(B) \in \mathcal{A},$
$\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(f^{-1}(B))}{K} \subset f^{-1}(B),$
Soit $x \in f^{-1}(B),d'ou \ f(x) \in B,$
$\forall y \in \bar{x},f(y)=f(x) \in B,$ alors $\bar{x} \subset f^{-1}(B)$ et $x \in \bar{x},$
alors   
$x \in \bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(f^{-1}(B))}{K},$
alors on a l'equivalence,

Pour la question 3) :
$\mathcal{T}=\left\{\left\{x;-x \right\};x \in \mathbb{R} \right\}$
$\tilde{\mathcal{A}}=\left\{X \in \mathcal{B}(\mathbb{R});X=\bigcup_{x \in \mathbb{R} \ et \ x,-x \in X}{\left\{x;-x \right\}} \right\}=\left\{X \cup \left\{-x;x \in X \right\};X \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$

d'apres la question precedente, f est borelienne et constante sur les classes d'equivalence cad pour tout $x \in \mathbb{R},f(-x)=f(x),$

alors f sont les fonctions boreliennes paires

#8 07-10-2017 20:50:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 762

Re : tribu et application mesurable

karengoul a écrit :

le raisonnement suivant est-il correcte :

2)

$\Rightarrow$ : on suppose que f est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$
Soit $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}),$ alors $f^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ et f est $(\mathcal{A},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$

Soit $x, y \in E$ tel que $x \sim y,$ $f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) =\bigcup_{K \in \mathcal{T} \cap \mathcal{P}(f^{-1}(\left\{f(x)\right\}))}{K},$

Je ne comprends pas cette dernière égalité...

Hors ligne

#9 09-10-2017 16:41:08

karengoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

Salut, j'ai supposé que $x \sim y$, or $\left\{f(x) \right\}$ est un borelien (singleton), et f est $(\tilde{\mathcal{A}},\mathcal{B}(\mathbb{R}))-mesurable,$ donc  $f^{-1}(\left\{f(x) \right\}) \in \tilde{\mathcal{A}} \ d'ou \ f^{-1}(\left\{f(x) \right\})=\bigcup_{K  \in \mathcal{T} \ et \  K \subset  f^{-1}(\left\{f(x) \right\})}{K}$ (cad $f^{-1}(\left\{f(x) \right\})$ verifie la propriete de $\tilde{\mathcal{A}}$)

#10 09-10-2017 18:49:16

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 762

Re : tribu et application mesurable

Alors je suis d'accord ! Et pour le reste aussi !

Hors ligne

#11 11-10-2017 14:14:36

karenghoul
Invité

Re : tribu et application mesurable

merci pour l'aide

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