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#1 08-10-2017 10:13:38
- bib
- Membre
- Inscription : 23-09-2017
- Messages : 192
support
Bonjour,on considère la fonction $\varphi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ définie par
$$
\varphi(x)=
\begin{cases}
\exp(-\dfrac{1}{1-|x|^2}), &|x| < 1\\
0, &|x| \geq 1
\end{cases}
$$
tel que $|.|$ note la norme euclidienne sur $\mathbb{R}^n$.
On pose $\Phi(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(y) dy$.
La question est: est-ce que $\Phi \in C^\infty(\mathbb{R})$? Et determiner son support.
Alors voilà mon problème: je ne sais pas justifier correctement que $\Phi \in C^\infty$. C'est parce que $\varphi \in C^\infty$, mais je ne sais pas argumenter.
Et pour le calcul du support de $\Phi$ je suis perdue. Aidez moi s'il vous plaît pour prendre la méthode.
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#2 08-10-2017 17:46:47
- Roro
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- Messages : 1 552
Re : support
Bonsoir bib,
Pour la première question : quelle est la dérivée de [tex]\Phi[/tex] ? Tu devrais ensuite pouvoir conclure facilement.
Pour la seconde : aide-toi par exemple du graphe de la fonction [tex]\varphi[/tex] et de l'interprétation graphique de l'intégrale.
Roro.
Dernière modification par Roro (08-10-2017 17:47:14)
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#3 11-10-2017 11:31:18
- bib
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Re : support
Bonjour,
toujours avec la fonction $\varphi$ de mon premier poste, on pose maintenant $f(x)= \varphi(x)-\varphi(x-3)$ et $g(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x f(y) dy$.
La question est: est-ce que $g \in C^\infty(\mathbb{R})$? Puis determiner $Supp(g)$.
Voici ce que j'ai fait.
1. On a $g'(x)= f(x)$ et $f \in C^\infty$, donc $g \in C^\infty$.
2. Pour le calcul du support j'ai fait deux méthodes:
Méthode 1:
on a $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy + \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y-3) dy$.
on rappele que
$$
\varphi(x-3)
=
\begin{cases}
\exp(-\dfrac{1}{1-x^2}): &|x-3| <1\\
0 :&|x-3| \geq 1
\end{cases}
$$
c'est à dire que
$$
\varphi(x-3)
=
\begin{cases}
\exp(-\dfrac{1}{1-x^2}): & x \in ]2,4[\\
0 :&x \in ]-\infty,2[ \cup [4,+\infty[
\end{cases}
$$
On remarque que $Supp(x \to \varphi(x-3))=[2,4]$, donc $Supp(f) \subset Supp(\varphi) \cup Supp(x \to \varphi(x-3))$ c'est à dire que $Supp(f) \subset [-1,4]$.
On distingue les cas suivants:
1. Si $x <-1$ alors $g(x)=0$.
2. Si $-1 < x < 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy + \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y-3) dy = \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy=B$.
3. Si $1 < x < 2$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$
4. Si $2 < x < 4$ alors $g(x) \displaystyle\int_2^x \varphi(y-3) dy$
5. Si $x >4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy$
Donc $Supp(g)=[-1,+\infty[$.
Méthode 2. On fait le changement de variables $z=y-3$ et donc on a
$$
g(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy + \displaystyle\int_{-4}^{x-3} \varphi(z) dz
$$
et on regarde les cas suivants:
1. Si $x <-1$ alors $g(x)=0$.
2. Si $-1 < x < 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$.
3. Si $x > 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy + \displaystyle\int_1^x \varphi(y) dy + \displaystyle\int_{-4}^{-2} \varphi(z) dz = \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$.
Donc $Supp(g)= [-1,+\infty[$.
Je ne sais pas si j'ai bien distinguer les cas qu'il faut, et si les deux méthodes sont correctes. Merci par avance pour votre aide.
Dernière modification par bib (11-10-2017 11:54:04)
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#5 11-10-2017 11:46:11
- bib
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Re : support
Si $2<x<4$ on a $g(x)=\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy + \displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy$. Je pense que c'est ça.
Donnez moi votre avis sur le reste s'il vous plaît.
édit: j'ai corrigé l'erreur Latex
Dernière modification par bib (11-10-2017 11:52:52)
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#7 11-10-2017 12:20:30
- bib
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Re : support
J'ai refait mes calculs et voici ce que j'obtiens
1. Si $x < -1$ alors $g(x)=0$.
2. Si $-1 < x < 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$
3. Si $1<x<2$ alors $g(x)=0$
4. Si $2 < x < 4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy$
5. Si $x>4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy - \displaystyle\int_2^4 \varphi(y) dy$.
Pourquoi c'est faux? S'il vous plaît. Je n'arrive pas à voir l'erreur.
Dernière modification par bib (11-10-2017 12:57:52)
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#9 11-10-2017 13:11:28
- bib
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Re : support
Si $x < -1$ alors $g(x)=0$
si $-1 < x < 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy$
si $1<x<2$ alors $g(x)=0$
si $2<x<4$ alors $g(x)=\displaystyle\int_2^x \varphi(y-3) dy$
si $x>4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy + \displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy$.
J'ai un doute pour le cas $2<x<4$, on commence l'intégration à partir de $2$? ou bien à partir d'un $x_0>2$? ça m'échappe.
et puis pour déduire le support, il y a une sorte de creux sur $[1,2]$. Comment on peut alors déduire le support dans ce cas? S'il vous plaît.
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#11 11-10-2017 17:57:40
- bib
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Re : support
On a pour $1<x<2: g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 (\varphi(y)-\varphi(y-3)) dy + \displaystyle\int_1^x (\varphi(y)-\varphi(y-3)) dy$ donc pour $1<x<2$ on a $g(x)=\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$. Je pense que c'est ok maintenant. Et avec les autres cas de mon précédent post, on a $Supp(g)= \overline{]-1,+\infty[}= [-1,+\infty[$. C'est ok? S'il vous plaît.
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#13 11-10-2017 23:21:36
- bib
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Re : support
Je reprend les calculs.
1. Si $x < -1$ alors $g(x)=0$
2. Si $-1 < x < 1$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy$
3. Si $1 < x < 2$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy$
4. Si $2 < x < 4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy - \displaystyle\int_2^x \varphi(y-3) dy$
5. Si $x >4$ alors $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy - \displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy$
Ma question est comment prouver que $g$ ne s'annule pas sur $]-1,+\infty[$? S'il vous plaît.
Dernière modification par bib (11-10-2017 23:23:06)
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#15 12-10-2017 10:17:50
- bib
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Re : support
Oui, alors en faisant le changement de variable $z=y-3$, on a $\displaystyle\int_2^4 \varphi(y-3) dy = \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(z) dz$, donc pour tout $x \geq 4$ on a $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy - \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(z) dz=0$.
Ma question est: s'il vous plaît, quel argument utiliser pour montrer que $\displaystyle\int_{-1}^x \varphi(y) dy \neq 0$ pour tout $x \in ]-1,1]$?
Dernière modification par bib (12-10-2017 11:20:52)
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#17 12-10-2017 12:27:14
- bib
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Re : support
Merci beaucoup. J4ai deux questions s'il vous plaît:
1. est-ce que ce résultat à un nom?
2. on conclut que $Supp (g)= [-1,4]$. Pour l'ensemble où $g$ est nulle, c'est $U=]-\infty,-1[ \cup ]4,+\infty[$. L'ouvert d'annulation est le plus grand ouvert où $g$ est nulle. Mais ici $U$ n'est pas ouvert. Qui est l'ouvert d'annulation? S'il vous plaît.
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#19 13-10-2017 12:10:26
- bib
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Re : support
Bonjour,
On conclut alors que $Supp(g) =[-1,4]$.
Si c'est bon, j'ai une question s'il vous plaît. La première étape de la solution est de dire que $Supp(f) \subset [-1,1] \cup [2,4]$, donc moi je ne pense as directement à considérer les cas $1 \leq x \leq 2$ et $x \geq 4$. Comment expliquer le fait qu'on étudit ces deux cas?
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#21 13-10-2017 20:46:52
- bib
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Re : support
Non vous avez raison, j'ai fait un dessin et j'avais confondu les deux et je me suis emmêlé les pinceaux. Ok c'est réglé pour ce point.
Pour le cas $2 \leq x \leq 4$ on a $g(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(y) dy - \displaystyle\int_{-1}^{x-3} \varphi(z) dz$
je dis que ça ne peut pas être nul, mais comment le justifier rigoureusement? S'il vous plait.
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#24 13-10-2017 23:12:00
- bib
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Re : support
J'ai une autre question s'il vous plaît. Si $\Omega$ est un ouvert dans $\mathbb{R}^n$, et $f,g \in \mathcal{D}(\Omega)$. Comment on montre rigoureusement que $Supp(f+g) \subset Supp(f) \cap Supp(g)$ et qu'on n'a pas d'égalité?
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