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#1 06-10-2017 17:21:48

MaT88
Membre
Inscription : 06-10-2017
Messages : 10

La connexité

Bonjour,

J'ai une question concernant la définition d'un ensemble connexe.
On sait bien que pour qu'un ensemble A soit connexe on ne peut pas trouver deux ouverts U et V disjoints non vides tel que A est la réunion de ces ouverts.
Ma question est pourquoi spécifie-t-on des ouverts? Pourquoi ne pas dire qu'on ne peut pas trouver U et V disjoints fermés tel que A est la réunion pour définir la connexité de l'ensemble A.

Merci en avance :)

Hors ligne

#2 06-10-2017 17:25:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : La connexité

Bonjour,

  On pourrait tout à fait le définir ainsi, puisque si $U$ est ouvert, alors son complémentaire $V$ est fermé....

F.

Hors ligne

#3 06-10-2017 18:00:12

MaT88
Membre
Inscription : 06-10-2017
Messages : 10

Re : La connexité

Fred a écrit :

Bonjour,

  On pourrait tout à fait le définir ainsi, puisque si $U$ est ouvert, alors son complémentaire $V$ est fermé....

F.

Merci pour votre réponse, je crois que j'ai bien compris. Vous voulez dire que si A est connxe alors son complément est un connexe et comme A n'est pas la réunion des ouverts U et V alors son complément n'est pas la réunion des compléments fermés de U et V?

Hors ligne

#4 06-10-2017 18:39:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 707

Re : La connexité

Non, ce n'est pas cela. Je veux dire si $A=U\cup V$ avec $U$ et $V$ ouverts disjoints, ce sont des ouverts pour la topologie de $A$. La définition d'un ouvert, c'est que son complémentaire (ici, comprendre complémentaire dans $A$) est fermé. Donc si $U$ est ouvert, son complémentaire dans $A$, qui est $V$, est fermé. Et $U$, qui est le complémentaire de l'ouvert $V$ dans $A$, est aussi fermé.

F.

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