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#1 04-10-2017 15:34:41

Lyne
Invité

Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Bonjour,

j'ai reçu un dm a faire  jusqu'à vendredi cependant j'ai été très occupé par des évaluations et j'ai eu aussi du mal à comprendre. S'il vous plait aider moi. Merci de toutes participations. Meme si j'ai du mal à comprendre, je ferais de mon mieux


Partie A:

On considère 3 réels a, b, c avec a différent de 0. On pose f(x)=ax carré +bx+ c.

1) On suppose que le trinôme ax carré +bx+c possède deux racines distinctes. Montrer que la somme des racines vaut -b/a et que leur produit vaut c/a.

2) Les deux formules précédentes sont-elles encore valables si le trinôme possède une racine double ?

Partie B

3) Deux nombres ont pour somme S et pour produit P. Montrer que ces deux nombres sont solutions de l'équation x carré - Sx+P=0

4) Inversement justifier que si l'équation x carré -Sx+P=0 a deux solutions,alors ces deux solutions ont pour somme S et pour produit P.

5) René doit résoudre x carré -5,5x + 7,5=0. il remarque que 2,5 et 3 ont pour somme 5,5 et pour produit 7,5. Il en déduit que ce sont forcément les solutions de l'équation, et qu'il n'y en a pas d'autres. Sans faire de calcul, pensez-vous qu'il a raison? Pourquoi ?

6) L'équation 2x carré + 3x -5=0 possède 1 comme racine évidente. En déduire d'autre racines sans calculer delta.

7)On cherche deux nombres réels dont la somme est égale au produit. A quelle condition sur leur somme cela est-il possible ?

Partie C:

8) Existe t il un rectangle dont l'aire est 16 cm carré et le périmétre 16 cm? Quelles sont alors ses dimensions ?

9)Existe t-il un rectangle dont l'aire est 17 cm carré et le périmètre 17 cm ? Quelles sont alors ses dimensions?

10) Existe t-il un rectangle dont l'aire est 15 cm carré et le périmètre 15 cm? Quelles sont alors ses dimensions?


Un grand merci de ma part a tous ceux qui m'aideront. Vraiment Merci


Voici Mes calculs:
Partie A):

1)  X1+x2= -b- racine delta /2a + -b+racine delta/2a

         =-b-b/2a car les racines s'annulent

         = -2b/2a  ( les 2 s'annulent)

         = -b/a

x1 * x2=  -b- racine delta /2a * -b+racine delta/2a

           = (-b- racine delta)(-b- racine delta)/4a carré

           = (-b) carré - racine delta carré/4a carré

            = b carré - delta/ 4a carré

            = b carré - (b carré - 4ac)/4a carré

            = tous s'annulent sauf le 4a carré

            = c/a



2) La j'ai pas compris mais je sais que l'équation a une racine double lorsque delta est nul

Partie B:

a) x+y=S donc y=S-x

x*y=P donc x(S-x)=P

et on fais *(-1) pour retrouver l'équation de départ.  Après pour en être vraiment sur j'ai refais ce calcul en enlevant X et j'ai obtenu y carré -Sy+P=0



b) Les solutions de l'équation étaient X1= x carré -Sx + P

                                                      et X2= y carré-Sy+P

ainsi il faut faire X1+X2= ( x carré -Sx + P) + (y carré-Sy+P)

Aprés j'ai du mal a imaginé le calcul.

c) Je pense qu'il a raison car dans la première question, on a vu que S et P sont bel et bien des solutions de l'équation .

Aprés tout le reste j'essaye encore de comprendre.

Merci de me corriger et de m'aider à le faire.

#2 04-10-2017 16:34:38

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Salut,

ce qui est dommage dans cette affaire est que l'objectif pédagogique premier d'un DM est de t'amener à réfléchir sur une thème donné, ici les équations du second degré. Pour bien réfléchir, il faut du temps et toi, tu en manques car il ne te reste que quelques heures et tu n'es pas particulièrement à l'aise sur le sujet.
Si tu étais venu nous solliciter plus tôt dans la semaine, on t'aurait aidé et tu aurais progressé. Là, on va te donner quelques indications mais je ne suis pas certain que tu comprennes ce que tu dois comprendre ... C'est bien dommage !

Donc A 1) OK,
A 2) : réfléchis quelques secondes de plus !
B 3) OK,
B 4) fais le calcul et déduis ce que tu dois !
B 5) pourquoi tu ne te sers pas de B 3) ?

Merci à d'autres intervenants (yoshi, tibo, ...) de prendre la main si nécessaire !


Memento Mori ! ...

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#3 04-10-2017 17:20:26

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Salut,

Les x au carré c'est pénible à lire : utilise plutôt le ² en dessous de Echap (ou ESC selon les claviers)...
Attention, moi je respecte la priorité des opérations parce que je vois qu'il manque des parenthèses...
En effet avec stylo + papier, ton -b- racine delta /2a s'écrit : [tex]-b-\frac{\sqrt{\Delta}}{2}\times a[/tex]
Écris plutôt : (-b-racine Delta)/(2a)
Sinon, question 1, ok !
Q2 formules toujours valables avec racine double ?
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/tex]
racine double donc oui [tex]\Delta=0[/tex]
[tex]x_1=x_2=\frac{-b}{2a}[/tex]
Donc :
S = ?
et [tex]P=\frac{-b}{2a}\times \frac{-b}{2a}=\cdots[/tex]
Mais là tu n'as pas fini :
si [tex]\Delta=0[/tex], c'est que [tex]b^2-4ac = 0[/tex] et tu vas pouvoir simplifier P...

Partie B
Q3
oui

Q4

Les solutions de l'équation étaient X1= x carré -Sx + P  et X2 = y carré-Sy+P

Non.
Pourquoi donc ?
Dans ce sens, c'est plus facile :
[tex]x^2-Sx+P=0[/tex]
Donc [tex]\Delta =S^2-4P[/tex]
[tex]x_1=\frac{S-\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]
[tex]x_2=\frac{S+\sqrt{\Delta}}{2}[/tex]
Maintenant tu fais [tex]x_1+x_2[/tex]  ... facile
Puis
[tex]x_1x_2=\cdots[/tex]
Là, tu auras besoin de savoir que [tex]\Delta=S^2-4P[/tex]

Q5
Le produit de 2 nombres de même signe est positif.
Conclusion provisoire pour le signe des solutions ?
Pour aller plus loin, pense à la somme...
La somme de 2 négatifs est négatifs est négative, de deux positifs est positive...
Donc comment sont les signes des solutions ?
Sans calculs, on ne peut pas faire mieux...
Mais c'est suffisant pour l'instant
Le : et qu'il n'y en a pas d'autres est plutôt marrant.
S'il y en avait deux autres, ça en ferait quatre !
Une équation du 2nd degré n'a que 2 solutions...
Donc conclusion 2,5 et 3 sont-ils solution ?

Q6
Sers-toi de Q3 et Q4  : [tex]P=x_1x_2=\frac c a[/tex]
Ici P= ?
si x1=1, combien vaut x2 ?

Q7
[tex]x^2-Sx+P=0[/tex]
Mais P = S, donc [tex]x^2-Sx+S=0[/tex]
Regarde [tex]\Delta[/tex]...

Partie C
Q8
[tex]x_1x_2=16[/tex] , [tex]x_1+x_2=16[/tex]  rien de spécial

Q9
[tex]x_1x_2=17[/tex]  ; [tex]x_1+x_2=17[/tex]   Décevant et aucun intérêt : pas de piège. J'aurais donné 3 et non 15 et on aurait bien ri...

Q10
[tex]x_1+x_2=15[/tex]  ; [tex]x_1+x_2=15[/tex]
Voir ci-dessus


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#4 05-10-2017 20:33:46

Lyne
Invité

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Bonsoir,

pour la partie B:

4)en gros ça fait X1+X2 = -b/a=-s/1
et pour =X1*X2= c/a=P/1   (Mon prof m'a aidé ) mais s'il te plait pourras- tu m'écris la fin du calcul que tu as commencé.

5) 2,5+3=5,5
     2,5*3=7,5     les signes des solutions est positifs donc delta est positif = il n'y a que deux solutions .
Donc 2,5 et 3 sont les solutions
(Et la consigne affirme qu'il ne faut pas faire de calcul.)

6) P= X1*X2=c/a =-5/4= -1,25

1*X2= -1,25

   X2= -1,25/ 1 = -1,25 

Donc X2 vaut  - 1,25



7)  je pense que x²-Sx+S =0


                        delta= b²-4ac
                               =  -S-4*1*S
                               = -S-4S
                                = -5S

Partie C:

a) cela marche avec 4*4=16 et 2L+2l=16 est équivalent a 2*4+2*4=16

Par contre la b) et la c) je ne comprends pas, à moins de donner le résultat au pif

Merci de me corriger et de m'aider, mes remerciements

#5 06-10-2017 05:18:43

Lyne
Invité

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

IL me reste encore jusqu'a 13h pour poster le devoir.

Merci de votre aide

#6 06-10-2017 06:33:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Re,

Rapidement, j'ai RDV chez le Kiné à 9 h. Je reprends au retour...

7)  je pense que x²-Sx+S =0

                        delta= b²-4ac
                               =  -S-4*1*S
                               = -S-4S
                                = -5S

M'enfin !...
[tex]\Delta = (-S)^2-4S=S^2-4S=S(S-4)[/tex]
Puisque S est la somme deux longueurs, il ne peut être négatif...
[tex]\Delta[/tex] n'est donc positif que S>4 !!!

Partie C:

a) cela marche avec 4*4=16 et 2L+2l=16 est équivalent a 2*4+2*4=16

Par contre la b) et la c) je ne comprends pas, à moins de donner le résultat au pif

S=16 donc S>4 oui il y a des solutions
[tex]X^2-16X+16=0[/tex]
[tex]\Delta = 16^2-64 = 156-64 = 192[/tex]
[tex]\text{largeur, Longueur }= \dfrac{16\pm\sqrt{192}}{2}= \dfrac{16\pm8\sqrt{3}}{2}=8\pm4\sqrt 3[/tex]
Pour b) et c) Même méthode...

pour la partie B:

4)en gros ça fait X1+X2 = -b/a=-s/1
et pour =X1*X2= c/a=P/1   (Mon prof m'a aidé ) mais s'il te plait pourras- tu m'écris la fin du calcul que tu as commencé.

[tex]P=x_1x_2=x_1^=x_2^2=\frac{b^2}{4a^2}[/tex]
Mais [tex]\Delta = 0 = b^2-4c[/tex]
Donc [tex]b^2=4ac[/tex] que l'on remplace !
[tex]P=\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}[/tex] que tu simplifies...

5) 2,5+3=5,5
     2,5*3=7,5     les signes des solutions est positifs donc delta est positif = il n'y a que deux solutions .
Donc 2,5 et 3 sont les solutions
(Et la consigne affirme qu'il ne faut pas faire de calcul.)

P >0 donc les solutions sont soit toutes deux positives, soit toutes deux négatives.
Mais S>0, donc les deux solutions sont toutes deux positives...
S'il y a des solutions, ce sont donc bien celles-là...
Maintenant y a-t-il des solutions ?
Sans calculs, c'est dur à dire... Il faut savoir que [tex]\Delta >0[/tex]

Mais ta proposition est fausse, voilà un contre exemple :
[tex]x^2-3x+6=0[/tex]
Si je raisonne comme toi :
S=3, P=6 si les solutions existent elles sont toutes deux positives, toi tu conclurais donc que [tex]\Delta>0[/tex]
Pourtant : [tex]\Delta = (-3)^2-4\times 6 = 9-24 <0[/tex]...

@+


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#7 06-10-2017 08:20:00

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 380

Re : Dm urgent équations du 2eme degré a rendre vendredi

Re,

Je reprends :

5) 2,5+3=5,5
     2,5*3=7,5     les signes des solutions est positifs donc delta est positif = il n'y a que deux solutions .
Donc 2,5 et 3 sont les solutions
(Et la consigne affirme qu'il ne faut pas faire de calcul.)

On va essayer de contourner la consigne : pas de calculs.
Tu vas lui dire que tu ne fais pas de calculs, que tu vas juste utiliser tes tables de multiplications que tu connais par coeur depuis la Primaire... ^_^
Ici a=1. Or le a ne "sert à rien" dans la multiplication (la justification exacte, que tune connais probablement pas est : le 1 est élément neutre pour la multiplication)
Donc [tex]\Delta=b^2-4c[/tex]
Il y a deux solutions si [tex]b^2>4c[/tex]
Comme on ne doit pas faire de calcul, on va
a) arrondir b et c  à 5 et 8 : b² c'est  [tex]b\times b=5\times 5[/tex] et la table de 5 dit que ça fait 25
   4c c'est [tex]4\times 8[/tex] et la table de 4 dit 32... 25<32
b) arrondir b et c  à 5 et 7
   [tex] 4c = 4\times 7 = 28[/tex] d'où b² <4c...
c) arrondir b et c  à 6 et 7
   [tex]b\times b=6\times 6=36[/tex]  et[tex] 4c = 4\times 7 = 28[/tex]
  b²>4c
d) arrondir b et c à 6 et 8
    4c = 32
   b²>4c
Donc, ne peut pas répondre sans calcul du discriminant : rien n'est évident.
La seule réponse est bien :
SI les solutions existent, ce sont bien 2,5 et 3...

6) L'équation 2x²+ 3x -5=0 possède 1 comme racine évidente. En déduire d'autre racines sans calculer delta.

Il y a une racine évidente dit l'énoncé  et 2x²-3x+5 n'est pas un carré donc, il y en a bien une 2e...
P<0 donc une solution positive, l'autre négative
[tex]P=-\frac 5 2=-2,5[/tex]
On pose [tex]x'=1[/tex] et on cherche [tex]x''[/tex] : [tex]1\times x"=-2,5[/tex], donc [tex]x"= ?[/tex]

@+


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