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#1 01-10-2017 16:17:22

catfil
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Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,

En janvier prochain, j’espère fêter mes 70 ans. Il y a tout juste 50 ans, en juin 1967, élève au Lycée Adam de Craponne de Salon-de-Provence, je passais mon BAC Mathématiques et Techniques à Aix-en-Provence au Lycée Vauvenargue.
Malgré la note de 7/20 obtenue en Maths, j’ai poursuivi mes études à l’ENREA Clichy. Depuis, j’avais "mis un mouchoir" sur ce piètre résultat…
Est-ce le besoin d’un retour en arrière à l’occasion de ce cinquantième anniversaire ou, plus simplement, la curiosité de retrouver cette épreuve ? Je ne sais pas. Mais, j’ai rédigé sa correction et réévalué sa difficulté afin d’en tirer, qui sait, une certaine consolation…
J’ai pris tout mon temps et fais de mon mieux. Voici donc, (lien ci-dessous), cette correction.
Je reconnais que j’ai eu bien du mal à m’y remettre. Aussi, je vous demande de m’aider à la compléter afin d’en faire une correction sans erreur, digne de confiance.
Par avance, merci de votre indulgence.

http://www.cjoint.com/c/GJbpo6TkYDG

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#2 03-10-2017 08:00:53

tibo
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,

Très beau travail !
J'essayerai de le lire en détail ce week-end.

Une chose de sûr, un élève de Terminale d'aujourd'hui serait bien incapable de faire ce sujet.
Bon la comparaison est biaisée vu que les programmes ne sont plus les mêmes, mais tout de même des exercices pareils sans questions intermédiaires pour guider le raisonnement, plus d'un seraient perturbés...
(Perso j'aurais été incapable de faire l'exercice 2 ^^)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 03-10-2017 09:18:06

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour Tibo,

Je vous confirme également mes difficultés à résoudre l'exercice 2.
Comme je le disais, j'ai quand même pris mon temps...
Merci beaucoup pour votre aide.

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#4 03-10-2017 10:28:49

leon1789
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour catfil.

Quel courage ! Félicitations.

une remarque :
page 6, ta solution n'est pas correcte. Certes, m=1 est une valeur possible , mais pas la seule.
Il faut revoir l'interprétation algébrique de "P divisible par Q".

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#5 03-10-2017 11:30:31

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour leon1789,

Merci pour tes félicitations. Ce n'est pas le courage qui me manque en effet, mais plutôt la perspicacité !
L'énoncé utilise le singulier pour "quelle valeur".
Je n'ai donc pas douté qu'il existait une ou plusieurs autres valeurs.
J'essaie immédiatement de réviser mon interprétation algébrique de "P divisible par Q".

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#6 03-10-2017 14:50:38

leon1789
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

ah... suite à ta réponse, je relis l'énoncé et je "découvre" << m est strictement positif >>, donc il n'y a qu'une seule solution en effet.

Cela dit, il faut quand même revoir l'interprétation algébrique de "P divisible par Q" :
"P divisible par Q" est équivalent à "il existe a,b deux réels tels que  x^2 + m.x -2 = (m.x - 1) . (b.x - a)".

Et ainsi on obtient par identification des coefficients des puissances de x un système (non linéaire) de 3 équations à 3 inconnus a,b,m.
De ce système, on tire deux valeurs possibles de m, dont une seule est strictement positive (c'est 1 en effet).

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#7 03-10-2017 18:39:14

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonsoir,

Il me semble bien qu'en 66/67, on apprenait la division des polynômes en Math Elem comme en Math Tech...
Faudrait que je vérifie.

   x²   + mx     -2             |  mx-1      
- (x²   -x/m)                   |  x/m +(m²+1)/m²
       mx+x/m    -2             |  
      x(m²+1)/m  -2      
    -[x(m²+1)/m - (m²+1)/m²]  
                  (m²+1)/m² -2

 
J'en déduis que si [tex]\frac{m^2+1}{m^2} -2 = 0[/tex] alors P(x) est divisible par Q(x)

Soit [tex]m^2+1-2m^2 = 0[/tex]
Soit [tex]m^2 - 1=0[/tex]
..........................

Mais c'est effectivement moins douloureux comme tu le proposes.
On peut même court-circuiter le système de 3 équations à 3 inconnues avec un peu de réflexion supplémentaire.
Si P(x) est divisible par Q(x) alors il existe a et b [tex]\in\, \mathbb{R}[/tex] tels que
[tex]x^2+mx-2=(mx-1)(ax+b)[/tex]
D'où je déduis immédiatement que :
-2 = -b d'où b=2...
[tex](mx-1)(ax+2) = amx^2+2mx-ax-2 = am^2+(2m-a)x-2[/tex]
Et on identifie
[tex]x^2+mx -1[/tex] avec
[tex]amx^2+(2m-a)x -2[/tex]
Il vient alors :
[tex]\begin{cases}am&=1\\2m-a&=m\end{cases}[/tex]
De la 2e équation, on tire a = m
D'où [tex]m^2=1[/tex]  et  [tex] m^2-1=0[/tex]
.........................

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#8 04-10-2017 09:35:11

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour Leon1789 et yoshi,
Votre aide m'a permis de bien revoir mon interprétation algébrique de "P divisible par Q".
Je me sens un peu stupide... face à une telle erreur !
J'ai donc, comme promis, modifier mon document dont vous trouverez la nouvelle version ici :

http://www.cjoint.com/c/GJejuLVcqKN

Encore merci du temps que vous me consacrez.

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#9 04-10-2017 11:12:54

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,

P.7.
Plusieurs remarques.
Un détail : tu écris [tex]\Delta=b'^2-ac[/tex]: ça, c'est le discriminant réduit (ça ne s'enseigne plus maintenant). Il faut lui rendre son bon symbole : [tex]\Delta'[/tex].

Pour la suite, ta conclusion en bas de page n'est pas claire du tout et même inexacte.
Tu calcules [tex]\Delta'=1-m^2[/tex] et tu sautes aux conclusions ?
Quel est le signe de [tex]\Delta'[/tex] ?
Parce que si [tex]\Delta'<0[/tex], il n'y a pas de solutions pour [tex]mx^2-2x+m=0[/tex] (on travaille dans [tex]\mathbb{R}[/tex])
Et [tex]1-m^2<0[/tex] si m>1
Que vient donc faire le -1 dans ta conclusion ?
[tex]\Delta'>0[/tex] si -1<m<1, donc, avec la restriction de l'énoncé, si  [tex] 0<m<1[/tex]
Les 2 solutions dec [tex] f'(x)=0[/tex] sont [tex]x_{1},\,x_{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1-m^2}}{m}[/tex]
......................
Et f'(x)=0 si m=1 écris-tu :
[tex]f'_1(x)=\frac{x^2-2x+1}{(x-1)^2}[/tex] et, si [tex]x\neq 1,\; f'_1(x)=1[/tex]

Il faudrait encore que je vérifie soigneusement ce que j'ai écrit ci-dessus : je suis à la bourre et dans ce cas une erreur est vite arrivée...

@+


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#10 04-10-2017 14:42:55

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour yoshi,
Si pour le ∆' c'était une banale erreur de frappe, ma conclusion, elle, était stupide en effet.
L'automatisme : maximum implique f'(x) = 0  m'a bien sûr induit en erreur.
Mais, de là à mélanger f'(x) = 0  et  ∆' = 0 ... j'aurai du contrôler, voilà tout !
D'autant que la suite du problème démontre évidemment les conclusions de cette question...
J'ai modifier dans ce sens mon document. Sa nouvelle version ici :

http://www.cjoint.com/c/GJeoxHUB6bN

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#11 04-10-2017 16:02:02

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Re,

Pas d'accord avec ta nouvelle conclusion :
[tex]\Delta' <0[/tex] pas de maximum ? C'est surtout qu'il n'y a pas de solutions....
Ensuite :
[tex]0>m>1[/tex] ??? Roooh... tu fatigues là !
Ensuite, une courbe du 2nd degré avec 2 maximums ???
je n'en ai encore jamais vu...
En outre l'énoncé dit :
Pour quelles valeurs de m la fonction m admet-elle un maximum relatif ?
Les valeurs de m, ça peut être aussi un intervalle...
Par contre, les 2 solutions étant
[tex]x_1=\frac{1-\sqrt{1-m^2}}{m}[/tex]
[tex]x_2=\frac{1+\sqrt{1-m^2}}{m}[/tex]
On a bien 2 extremums et [tex] x_1<x_2[/tex]
On a donc bien
pour [tex]x<x1, \;f'(x)>0[/tex]
pour [tex]x_1<x<x_2,\;f'(x)<0 [/tex]
pour [tex]x_2<x,\;f'(x)>0[/tex]
f est donc croissante, décroissante, croissante : 1 maximum puis un minimum
Et il faut placer x=1/m comme valeur interdite comme asymptote verticale et contrôler que x1<1/m et que x2>1/m

@+


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#12 04-10-2017 18:11:52

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonsoir yoshi,

Tu as raison, tout cela manque de rigueur. Je pensais pourtant m'être appliqué... J'ai donc revu ma rédaction.
Afin de m'en tenir à l'énoncé (on ne demande pas la construction de Cm dans le cas général), j'ai conclu sans calculer les racines et sans considérer le signe de f'(x) et les variations de f(x). Voici la nouvelle version.

http://www.cjoint.com/c/GJesbbPv8mN

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#13 05-10-2017 10:56:21

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Salut,

Page 14.
3 points fixes.
Ce n'est pas comme ça que j'avais appris à chercher.
J'avais appris à écrire :
fm+g =0
et dire que, pour que ce soit vrai quel que soit m, la CNS est : f =0 et g =0
En conséquence quoi les coordonnées de tout point cherché étant notées (x ; y), je procède comme suit.
[tex]y=\frac{x^2+mx-2}{mx-1}[/tex]
D'où
[tex]y(mx-1)=x^2+mx-2[/tex]
soit
[tex]mxy -y -x^2-mx+2 =0[/tex]
et
x(y-1)m+(-y-x^2+2)=0
D'où le système :
[tex]\begin{cases}x(y-1)&=0\\-y-x^2+2&=0\end{cases}[/tex]
De la première ligne je tire x=0 ou y-1=0
Et je reporte dans la 2e
* x=0 d'où y=2  : point [tex]A(0\,;\,2)[/tex]
* y=1 d'où [tex]x^2-1=0[/tex]  : points [tex]B(-1\,;\,1)  \text{ et  } C(1\,;\,1)[/tex]

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#14 05-10-2017 16:55:26

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonsoir yoshi,

J'avais du apprendre cette "astuce". Mais, honnêtement, je ne m'en souvenais pas. Merci de me la rappeler.
Ta solution étant plus rigoureuse, je l'ai bien sûr utilisée dans la nouvelle version que voici.

http://www.cjoint.com/c/GJfqVIBIGUN

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#15 05-10-2017 17:59:41

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Salut,

Tu sais, elle n'a pas refait surface chez moi, comme ça d'un claquement de doigts...
Ma Math Elem de 1966 est déjà loin...
Nous avions le plus grand respect pour les Math Tech : même niveau que nous, plus tout le côté technique. On vous regardait comme de gros bosseurs !
Y a une autre astuce sur laquelle je ne peux pas remettre un neurone : en 1ere, on étudiait des trinômes du 2nd degré avec paramètres et il fallait discuter l'existence et le signe des racines selon la valeur du paramètre.
Donc cette astuce utilisait P=c/a et S=-b/a,  je crois (avec  X²-SX+P=0 ?) et il me semble que ça servait aussi à trouver une (des ?) racine(s) indépendante(s) du paramètre... Mais j'ai oublié.
Wait and see...

@+


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#16 06-10-2017 08:07:44

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour yoshi,

Bravo ! Parce que 1966...6 fut une année diabolique ! Tous nos candidats avaient échoué et pour la plus part redoublé.
Quoiqu'en 1967, sur au total plus d'une vingtaine de candidats, seuls 4 avaient eu leur BAC en juin et 1 j'espère en septembre...
C'est vrai, en Math Tech nous avions jusqu'à 44H/semaine de présence au bahut. Avec le boulot à la maison, cela ne nous laissait guère de temps pour nos loisirs !
De fait, je pense très sincèrement que les Math Elem avaient donc un meilleur niveau que nous en Math. Alors, encore merci pour ton aide et, respect !

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#17 06-10-2017 10:54:08

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

RE,

Quoiqu'en 1967, sur au total plus d'une vingtaine de candidats, seuls 4 avaient eu leur BAC en juin et 1 j'espère en septembre..

.
Tiens je croyais être dans le rêve - on me lançait un regard incrédule quand j'expliquais que ,
- nous avions deux chances de... rater le Bac, une au grattage (à l'écrit) et une au tirage (à l'oral obligatoire)
- que dans mon centre d'examen sur 330 candidats présentés, seuls 90 avaient eu le privilège d'essayer de ne pas de planter à l'Oral :
  [tex]90/330\approx 27\, \%[/tex]. On est loin des pourcentages actuels !

Bon je suis en train de plancher sur la suite du sujet.
Je trouve la deuxième partie de la question assez pénible...

@+


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#18 07-10-2017 10:39:28

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Salut,

Je viens enfin de cesser mes fautes de signe et je viens de voir que tu as posté la suite...
Je suis allé plus loin que toi.
[tex]\Delta'_1=9k^2-(8+k^2)=8(k^2-1)[/tex]
Ce discriminant est <0  pour [tex]k\,\in\,]-1\,;\,1[[/tex]

Pourquoi n'as-tu pas vérifié explicitement que [tex]m'=3k-2\sqrt{2(k^2-1)}[/tex] était bien > 0 ?
Ensuite [tex] m" >m'[/tex] donc [tex]m">m'>0[/tex]
donc les solutions pour m conviennent
donc m doit être pris à l'extérieur des racines en excluant le 1...

Je verrai la suite plus tard...

@+


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#19 07-10-2017 17:46:23

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonsoir yoshi,

Tu as encore raison.
J'ai "zappé" les exigences de l'énoncé : m>0 et m≠1.
J'y travaille. Merci.

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#20 10-10-2017 13:08:37

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,
Une pénible affaire personnelle m'a écarté momentanément.
Me revoilà donc, avec la nouvelle version promise :
http://www.cjoint.com/c/GJkmV5ZCpE8
Encore merci pour toute l'aide que vous pouvez m'apporter.

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#21 10-10-2017 15:39:53

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,

Page 15.
Pas d'accord.
Je dois avoir  [tex]0<m<3k-2\sqrt{2(k^2-1)}[/tex] mais
Il ne s'agit pas d'utiliser des équivalences mais de savoir si [tex]3k-2\sqrt{2(k^2-1)}[/tex] est positif  ou non.
Si non, on est mal...
Donc à quelle condition a-t-on :
[tex]3k-2\sqrt{2(k^2-1)}>0[/tex] et [tex]3k+2\sqrt{2(k^2-1)}>0[/tex] et maintenant j'utilise des équivalences :
[tex]3k-2\sqrt{2(k^2-1)}>0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]3k>2\sqrt{2(k^2-1)}[/tex]
Si k >0 :
[tex]9k^2>8k^2-8[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]k^2>-8[/tex]  vrai [tex]\forall\,k >0[/tex]. Et on prend m à l'extérieur des 2 racines...

Mais et si k<0 ?
-3 <2  mais (-3)² > 4 !!!
[tex]9k^2<8k^2-8[/tex]
soit k²< - 8.... Ah... !!!
Et qu'en est-il de [tex]3k+\sqrt{8k^2-8}[/tex] ?
[tex]3k>-\sqrt{8k^2-8}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]9k^2<8k^2-8[/tex] impossible
Donc -[tex]3k+\sqrt{8k^2-8}<0[/tex]
Donc[tex] \forall k <0[/tex], il suffit de prendre [tex]m\,\in\,]0\,;\,1[\,\cup]1\,;\,+\infty[[/tex]
et il y a deux solutions quand même...

Il faudrait encore préciser le cas k = 0

@+


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#22 14-10-2017 11:58:26

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour yoshi,

J’ai pris mon temps. J’espère que ma réponse sera correcte.
Tu m’as bien aidé en cela. La version corrigée est là :
http://www.cjoint.com/c/GJolXaO5M78

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#23 23-10-2017 09:52:27

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour yoshi,

Sans aucune réponse depuis quelques jours, je me demandais si c'était par manque de temps, ce que je comprendrais très bien, ou si c'était pour d'autres raisons.
Par exemple, parce que le reste de mon corrigé était satisfaisant... (;-))
J'espère très sincèrement que tu trouveras le temps pour me répondre et t'en remercie par avance.
Cordialement.

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#24 23-10-2017 11:30:41

yoshi
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour,

Désolé, je manque de temps : ça n'est pas un devoir de Collège...
Ta réponse est plausible.
J'avais lu rapidement, ça m'avait laissé sur ma faim, alors j'ai laissé l'idée le trouver...
Donc rapidement sur le début de la suite :
Je mets en évidence, que [tex]\overrightarrow{OM_1}=(1+k)\overrightarrow{OM}[/tex]
Et là, j'ai une homthétie de centre O et de rapport [tex]1+\lambda[/tex]

La fin me chiffonne aussi : je trouve ça bien compliqué...
Je suis à la recherche d'autre chose...

@+


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#25 23-10-2017 14:22:00

catfil
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Re : Correction de l'épreuve du BAC MT 1967

Bonjour yoshi,

Merci pour ta réactivité. J'étais sûr que tu ne m'avais pas oublié.
Je vois bien ta générosité et ton empressement à aider.
Sois-en encore une fois ici remercié.
@+

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