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#1 14-09-2017 11:31:35

hass hass
Membre
Inscription : 14-09-2017
Messages : 2

nombre rationnel

s'il vous plait quelqu'un peut m'expliquer comment demontre que :
              racinecarré de ((5n+1)/(n+1)) est rationnel si et seulement si n=17

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#2 14-09-2017 12:29:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 040

Re : nombre rationnel

Bonjour,

  Ton énoncé est incorrect. Pour $n=17$, on a $\sqrt{\frac{5n+1}{n+1}}=\frac{\sqrt{43}}3$ qui n'est pas un nombre rationnel (car $\sqrt 43$ ne l'est pas).

F.

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#3 26-09-2017 10:40:01

hass hass
Membre
Inscription : 14-09-2017
Messages : 2

Re : nombre rationnel

je corrige
      [tex]\sqrt{\frac{ n+15}{n+1}}[/tex] est rationnel si et seulement si n=17

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#4 26-09-2017 19:27:11

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 036

Re : nombre rationnel

Salut,

Il y a peut-être plus simple, mais cette méthode fonctionne :

$\sqrt{\dfrac{n+15}{n+1}} \text{ rationnel } \\
\Leftrightarrow \exists p, q,\ \sqrt{\dfrac{n+15}{n+1}}=\dfrac{p}{q} \\
\Leftrightarrow \exists p, q,\ \dfrac{n+15}{n+1}=\dfrac{p^2}{q^2} \\
\Leftrightarrow \exists k, p, q,\ \left\{\begin{array}{l} n+15=kp^2 \\ n+1=kq^2 \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow \exists k, p, q,\ \left\{\begin{array}{l} p^2-q^2=\dfrac{14}{k} \\ n+1=kq^2 \end{array}\right. $

Il suffit de tester les différentes valeurs de $k$ possibles.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#5 27-09-2017 09:45:16

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 273

Re : nombre rationnel

Salut,

autre méthode : étudier la fonction [tex]\sqrt{1+\frac{14}{x+1}}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex]. On se fera vite une religion.


Memento Mori ! ...

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