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#1 26-09-2017 06:56:29

Sandra'nas
Invité

Convergence uniforme

Bonjour,
J'ai besoin d' aide.

Soit [tex]f_n(x)= \sum_{i=0}^{n-1} (1/n) f(x+(i/n))[/tex] avec f une fonction continue.
On demande de montrer que [tex] f_n(x) [/tex] converge uniformément sur [a,b].
( Utiliser le théorème de la moyenne et le théorème de Borel Lebesgue ).

Merci.

#2 26-09-2017 08:00:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence uniforme

Bonjour,

  Première chose, peux-tu déterminer la limite simple de cette suite de fonctions?
Par ailleurs, pourquoi veux-tu utiliser le théorème de la moyenne et le théorème de Borel-Lebesgue pour démontrer ceci???

F.

Hors ligne

#3 26-09-2017 08:11:00

Sandra'nas
Invité

Re : Convergence uniforme

J'ai trouvé la limite simple est la fonction nulle.
L'utilisation du théorème de la moyenne et du théorème de Borel Lebesgue est une indication donnée par le prof.

#4 26-09-2017 08:16:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence uniforme

Ce n'est pas la fonction nulle. Certes, on divise par $n$, mais on fait une somme de $n$ termes. Cette somme est une somme classique qui apparait en intégration....

Hors ligne

#5 26-09-2017 08:33:00

Sandra'nas
Invité

Re : Convergence uniforme

Je vous remercie.
J'ai retrouvé le résultat avec la somme de Riemann, le théorème de la moyenne et le théorème de Borel Lebesgue.

#6 26-09-2017 08:54:51

Sandra'nas
Invité

Re : Convergence uniforme

En fin de compte, je n'ai demontré que la convergence simple.

#7 26-09-2017 09:27:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Convergence uniforme

Je pense que la convergence simple n'utilise que le théorème sur les sommes de Riemann. Pour démontrer la convergence uniforme, je te suggère de reprendre la démonstration du théorème concernant les sommes de Riemann, et d'essayer à partir de là de prouver la convergence uniforme.

Hors ligne

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