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#1 21-09-2017 16:46:46

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 69

arithmétique a² pair a pair

Bonjour

a entier, a>0
Par disjonction de cas on démontre que si a² est pair alors a est pair

Est ce qu'on peut le faire par équivalence ?

a pair équivaut à  a=2k
a=2k équivaut à a²=4k²=2(2k²)

donc a pair équivaut à a² pair ( à vous de juger!)

Merci pour des réponses

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#2 21-09-2017 17:17:37

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : arithmétique a² pair a pair

Salut,

En fait, je ne vois pas d'autre manière de le démontrer.
(Il faudrait ajouter des quantificateurs pour être vraiment complet.)

Comment le fais-tu par disjonction de cas?


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 21-09-2017 19:14:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : arithmétique a² pair a pair

Hello,

  Moi je ne suis pas d'accord avec la chaine d'équivalence. Plus précisément, je ne suis pas d'accord avec
$a^2=4k^2=2(2k^2)\iff a^2$ pair.

Comment prouves-tu cette équivalence? De $a^2=4k^2$, on peut aussi tirer que $a^2$ est un multiple de 4, et après tout, être pair et être multiple de 4 ne sont pas deux propriétés équivalentes.

En général, l'implication $a^2$ pair implique $a$ pair se prouve par contraposée. Ainsi, il suffit de prouver que $a$ impair implique $a^2$ impair, et cela, c'est facile en effectuant à peu près le raisonnement que tu as utilisé (mais en n'utilisant que des implications!)

F.

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#4 21-09-2017 20:21:37

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : arithmétique a² pair a pair

Et c'est là où je me rend compte que j'aurais mieux fait de me taire !
Je n'avais vérifié que le sens direct, sans regarder si on pouvait "remonter".


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#5 22-09-2017 08:27:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : arithmétique a² pair a pair

Bonjour,

Ma proposition...
Soit [tex]a^2[/tex] pair...
Alors [tex]\exists b\in\,\mathbb{N},\;a^2=2b[/tex]
b est soit pair, soit impair.
Si b est impair, cela signifie que sa décomposition en facteurs premiers ne contient aucun facteur 2.
Donc dans ce cas, un seul facteur 2 figure dans la décomposition de [tex]a^2[/tex] en produit de facteurs premiers et en conséquence [tex]a^2[/tex] n'est pas un carré...
Donc b est pair et  [tex]a^2[/tex] est donc multiple de 4 et a multiple de 2...

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#6 22-09-2017 08:59:09

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : arithmétique a² pair a pair

Parfait! Plus généralement, la décomposition en produit de facteurs premiers prouve que si un entier premier $p$ divise $a^2$, alors $p$ divise $a$.

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#7 22-09-2017 09:30:37

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 69

Re : arithmétique a² pair a pair

je cite Fed:

a² est un multiple de 4

. Je ne conteste pas, faute d'arguments de ma part.

Mais un entier multiple de 4 est aussi un multiple de 2 (Ou bien je fais fausse route!)

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#8 22-09-2017 10:42:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : arithmétique a² pair a pair

Oui, mais tu n'as pas équivalence. Tu as $a^2$ multiple de 4 $\implies a$ pair, mais sans justification, impossible de remonter!

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#9 22-09-2017 10:45:33

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : arithmétique a² pair a pair

Bonjour,

La citation exacte de Fred est :

Fred a écrit :

De [tex] a^2=4k^2[/tex], on peut aussi tirer que a^2 est un multiple de 4, et après tout, être pair et être multiple de 4 ne sont pas deux propriétés équivalentes.

Ce que je retiens moi, c'est :
être pair et être multiple de 4 ne sont pas deux propriétés équivalentes
Ce n'est pas parce qu'un nombre est multiple de 2 (pair) qu'il est forcément multiple de 4 (ex : 6, 10, 14... 2(2n+1)),
Et donc ce n'est pas parce que [tex]a^2[/tex] pair, que je dois automatiquement et sans autre forme de procès en conclure que [tex]a^2[/tex] est aussi multiple de 4...
Pour cela, j'ai proposé une démonstration approuvée par Fred...

@+


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#10 22-09-2017 17:10:22

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 69

Re : arithmétique a² pair a pair

Ce n'est pas parce qu'un nombre est multiple de 2 (pair) qu'il est forcément multiple de 4 (ex : 6, 10, 14... 2(2n+1)),

c'est clair, j'ai compris avec les exemples numériques

Et donc ce n'est pas parce que a² pair, que je dois automatiquement et sans autre forme de procès en conclure que a² est aussi multiple de 4...
Pour cela, j'ai proposé une démonstration approuvée par Fred...

Peux tu donner un exemple numérique si possible? (je rentre de vacances et ma tête est vide!)

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#11 22-09-2017 17:40:08

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : arithmétique a² pair a pair

Re,

Si je donne le nombre 98.
Il est pair : [tex]98 = 2 \times 49  = 2\times 7^2[/tex]
Et on voit que 98 n'est pas un carré parce que l'exposant du facteur 2 n'est pas pair : il n'y a qu'un seul facteur 2 dans 98...

La décomposition en produit de facteurs premiers d'un carré est toujours composée de facteurs ayant tous un exposant pair.
Avec, par ex 3, 5 et 7 , le plus petit carré est :
[tex]3^2 \times 5^2\times 7^2 = (3 \times 5 \times 7)^2 = 105^2[/tex]
Le suivant est : [tex]3^4 \times 5^2\times 7^2 = (3^2 \times 5 \times 7)^2 = 315^2[/tex]

Ça te va ?

@+


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#12 01-11-2017 15:30:37

magalie.bispo@hotmail.fr
Membre
Inscription : 01-11-2017
Messages : 1

Re : arithmétique a² pair a pair

bonjours je ne comprend pas très bien la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premier comme: décomposer a)1815, b)2385, c)2184, d)7560, e)8613merci d'avance de m'expliquer car tout ce qui concerne l'Arithmétique je n'arrive plus a rien, je bloque.Merci de votre aides et de vos explications

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#13 01-11-2017 17:12:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : arithmétique a² pair a pair

Salut,

D'abord connaître les premiers nombres premiers : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43
Et les caractères de divisibilité par 2,3,5 et 11 :
2  : terminaison 0,2,4,6 ou 8
3  : sommes des "chiffres" du nombre multiple de 3
5  : terminaison 0 ou 5
11 : différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres dxe rang impair multiple de 11.
Par exemple :
3558016
6+0+5+3=14
1+8+5 =14
14-14=0 multiple de 11
Disposition pratique :

1815 |
     |
     |
     |

A gauche sous 1815, alignés sur les unités : les quotients successifs.
A droite, les diviseurs premiers successifs.
On va parcourir la liste des nombres premiers successifs dans l'ordre croissant.
1815 se divise-t-il par 2 ? Non, on passe au suivant.
1815 se divise-t-il par 3 ? 1+8+1+5 = 15 Réponse oui.
On fait la division.
On pose le 3 sur la même ligne que 1815, et le quotient sous le 1815

1815 | 3
 605 |
     |
     |

605 se divise-t-il par 3 ? 6+5=11  Réponse Non.
On passe au suivant.
1815 se divise-t-il par 5 ?  Réponse oui (terminé par 5).
On fait la division et on complète :

1815 | 3
 605 | 5
 121 |
     |

121 se divise-t-il par 5 ? Non.
121 se divise-t-il par 7 ? 121 17*7+2. Réponse non.
121 se divise-t-il par 11 ? (1+1)-2=0. Réponse oui

1815 | 3
 605 | 5
 121 | 11
  11 |

La suite est évidente :

1815 | 3
 605 | 5
 121 | 11
  11 | 11
   1 |

Le dernier quotient obtenu est 1 : c'est le test d'arrêt. On écrit donc : [tex]1815 = 3 \times 5\times 11^2[/tex]
Je te donne le corrigé du d), je te le mets en spoiler pour vérification.

Solution d) et e)
7560 | 2          8613 | 3
3780 | 2          2871 | 3    
1890 | 2           957 | 3        
 945 | 3           319 | 11
 315 | 3            29 | 29
 105 | 3               | 1  
  35 | 5                
   7 | 7             8613 =  33 x  11 x 29          
   1 |

7530 = 23 x 33 x 5 x 7

N-B imaginons que tu cherches la décomposition en produit de facteurs premiers de 683...
Il n'est pas divisible par 2, ni par 3, ni par 5...
Division par 7. Non (on fait la division)
Division par 11. (6+3)-8=1. Non
A partir de maintenant, , il va falloir faire les divisions... Jusqu'à quand ?
Tu vas voir.
Division par 13. Quotient 66 reste 5. Non
Division par 17. Quotient 50 reste 13. Non
Division par 19. Quotient 45 reste 8. Non

On voit que le diviseur augmente et que le quotient diminue

Division par 23. Quotient 37 reste 12. Non
On voit que le diviseur ne va pas tarder à être supérieur ou égal au quotient.
Division par 29. Quotient 29 reste 22. Non
C'est fait !
Donc à partir de maintenant, il est inutile de continuer les divisions. Les réponses seront toujours non.
Pourquoi ?
Et bien si une division devait se faire à partir de maintenant, cela se serait déjà produit avant !!!
La preuve avec 161.
Supposons que jusqu'à ce calcul, aucune des divisions faites n'ait donné un reste de 0 :
161 = 11 x 14 + 5 le diviseur va être supérieur ou égal au quotient...
161 = 13 x 12 + 5 C'est fait !
Alors on s'arrête :  Normalement oui, parce qu'on ne doit pas faire d'erreurs de calculs ou d'oubli de divisions.
Et pourtant 161 = 23 x 7 + 0...
Donc j'ai raté la division par 7 : 161/7 --> q = 23, r =0.
Conclusion 1 : je dois particulièrement faire attention à ne pas oublier de division (ni faire d'erreurs de calcul : la calculette est là, quand même !) sinon, je vais faire beaucoup de calculs en trop. Là, ce n'est que 161 mais imagine avec 15893 que tu rates la division par 23, la prochaine qui va marcher sera la division par 691...

Conclusion 2: Je suis sûr de mes calculs, donc je m'arrête de faire des divisions si lorsque le qutient devient inférieur au diviseur, aucune d'entre elles ne s'est "terminée".

Conclusion 3 : Dans ce cas le nombre testé ne se décompose pas. C'est un nombre premier : 161 = 161 c'est tout !

@+


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#14 01-11-2017 17:22:55

tibo
Membre actif
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Messages : 944

Re : arithmétique a² pair a pair

Bonjour,

Ton post n'a rien a voir avec la discussion en cours. Tu dois ouvrir une nouvelle discussion pour parler d'un autre sujet.

Je te répond quand même brièvement :
La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre en entier sous la forme d'une multiplication de nombres premiers.
Par exemple $12 = 2\times 2\times 3$

Pour trouver cette décomposition, on peut tester les diviseurs premiers dans l'ordre croissants (2, 3, 5, 7, 11,...).
Par exemple, pour 1815:
1815 n'est pas divisible par 2
1815 est divisible par 3 -> $1815 = 3\times 605$
605 n'est pas divisible par 3
605 est divisible par 5 -> $1815 = 3\times 5\times 121$
121 n'est pas divisible par 7
...
Là j'ai beaucoup trop rédigé. J'ai écrit ce que l'on se dit dans sa tête (ou sur un brouillon).

On peut résumer ça sous forme de tableau


1815 | 3
 605 | 5
 121 | ...
 ... | ...
 

On obtient dans la colonne de droite la décomposition en facteurs premiers.

Si tu as d'autres question ou nous montrer ce que tu as fais, je t'invite à ouvrir une nouvelle discussion.
J'y déplacerai mon post une fois fait.


[edit] grillé par yoshi, qui est beaucoup plus complet que moi.

[edit2] Je ne suis pas sûr que prendre son adresse mail come pseudo soit une bonne idée.

Dernière modification par tibo (01-11-2017 18:07:49)


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