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#1 17-09-2017 23:47:31

BorisPetrov
Invité

le plus court chemin entre deux points sur une sphère

Bonjour,

J'ai tourné ce problème dans ma tête pendant plusieurs heures en essayant de mobiliser mes souvenirs de Terminale S... sans succès. Pourriez-vous m'aider, s'il vous plaît ? C'est pour un projet artistique.

Soit deux point A et B sur le globe terrestre :
A / Longitude -122,262173 / Latitutde : 37,838059
B / Longitude : 2,376974 / Latitude : 48,877203

La Terre est une sphère de rayon 6371 km.

Quelle est la longueur de la corde (et non de l'arc de cercle) qui relie A et B ?

Pourriez-vous me détailler le raisonnement à suivre et, au final, le résultat, s'il vous plaît ?

Un grand merci !

#2 18-09-2017 08:47:39

hgaruo1951
Membre
Inscription : 13-09-2017
Messages : 40

Re : le plus court chemin entre deux points sur une sphère

Bonjour,

Je reconnais que la solution qui vous a été proposée (sous d'autres cieux , je suis certain à 99°/° ) est un peu difficile
pour un terminal S (j'ai en mains les deux tomes des éditions Bordas " Mathématiques " - 1984 , de C.PAIR , J.L. BOURSSIN ,
I COLLOT et  B. POUILLE en supposant que l'essentiel du programme est resté à peu près le même?!!) . Une solution
un peu plus simple (c'est en tout cas mon avis!) serait de calculer la distance entre deux points (en adoptant un repère
orthonormé) dont on connais les coordonnées (c'est d'ailleurs ce dont vous disposez).

Cordialement .

Hors ligne

#3 18-09-2017 09:58:12

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 477

Re : le plus court chemin entre deux points sur une sphère

Bonjour,

Elle est où cette solution ?
Pour moi, l'arc qui passe par A et B est un arc de "grand cercle" qui a pour centre, le centre de la Terre et pour rayon 6370 km.
Ceci posé, O étant ce centre
* il faut calculer la valeur de l'angle [tex]\alpha=\widehat{AOB}[/tex].
* puis appliquer la formule (avec l'angle converti en radians) [tex]L=6370\alpha[/tex]
   Avec [tex]\alpha[/tex] en degrés : [tex]\frac{\alpha \times 6370\pi}{180}[/tex] (calcul de proportionnalité).

J'avais donné en DM, avec dessins et explications/questions intermédiaires, en classe 3e un exercice pas loin d'être dans le même esprit.
Je résume :
170918121506631393.jpg
L'équipe de hockey de Bellin (nord Québec), coordonnées 60° N  70° O, est invitée par son homologue de SAINT-PETERSBOURG,  coordonnées 60° N 30° E, à participer à un tournoi international.
1. Calculer la distance entre ces deux villes en suivant le 60e parallèle
2. Calculer la distance entre ces deux villes en suivant l'arc de "grand cercle"

Sur une idée pêchée dans le
Geometricon p. 17 - Jean-Pierre Petit http://www.savoir-sans-frontieres.com/J … TRICON.pdf

@+

[EDIT] Flûte !
J'avais oublié qu'on voulait la corde..
Bon, alors la solution suggérée dans un rapport orthonormé doit marcher.
Je propose quand même un peu de trigo avec la moitié de l'angle [tex]\alpha[/tex].
En effet, le triangle AOB étant isocèle en O, je trace la hauteur [OH] relative à [AB] : H est aussi le milieu de [AB].
Dans le triangle OHA rectangle en H, le sinus de [tex]\frac{\alpha}{2}[/tex] me permettra d'obtenir AH.
D'où [tex]AB =2\times 6371\times \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)[/tex]

Dernière modification par yoshi (18-09-2017 15:34:45)


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#4 27-12-2017 09:17:51

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 10

Re : le plus court chemin entre deux points sur une sphère

Bonjour,

Comme aucune réponse complète ou adaptée n'a été donnée, voici quelques suggestions tardives sur la façon de procéder.

1°) Tout point (M) de la sphère de rayon (R) centrée à l'origine du repère orthonormé (Oxyz), et la projection orthogonale (H) de ce point sur le plan équatorial (xOy) vérifient:
OM = R ; OH = OM.Cos(t) = R.Cos(t) .
Ses coordonnées cartésiennes sont définies par les positions des projections orthogonales (I, J) du point (H) sur les axes (x'x, y'y), et celle (K) de (M) sur (z'z):
x = OI = OH.Cos(u) = R.Cos(t).Cos(u) ;
y = OJ = OH.Sin(u) = R.Cos(t).Sin(u) ;
z = OK = OM.Sin(t) = R.Sin(t) ;
elles vérifient naturellement l'équation de la sphère: R2 = x2 + y2 + z2 .

Figure
2°) La longueur de la corde reliant deux points (A, B) de cette surface se calcule directement à partir des coordonnées, au moyen de la relation de Pythagore:
d2 = AB2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2 ; il suffit pour cela d'utiliser les coordonnées géographiques (uA, tA et uB, tB) de chacun des deux points.

La longueur (LAB) de l'arc du grand cercle (route orthodromique) joignant les points (A) et (B) s'exprime simplement en fonction de l'angle
w = (OA, OB) déterminé par les vecteurs position correspondants, et qui est lié à leur produit scalaire;
on a en effet:
LAB = R.w , et (OAOB) = OA.OB.Cos(OA, OB) = R2.Cos(w) , d'où:

LAB = R.ArcCos((OAOB) / R2) .

3°) Dernier point: la précision des données angulaires paraît tout à fait excessive: 8 à 9 chiffres significatifs pour des longitudes et latitudes de l'ordre de 40 à 100° , 4 seulement pour le rayon ! L'imprécision sur les distances limite celle sur les résultats, et l'on peut se contenter de 4 ou 5 chiffres significatifs pour les angles - soit deux ou trois décimales.

Note: je m'aperçois que je ne peux pas (ou ne sais pas) insérer d'image à partir de l'ordinateur; je verrai plus tard ce qu'il m'est possible de faire.
# 28/12: Ça marche ! grâce aux conseils avisés de Yoshi. On apprend à tout âge.

Dernière modification par Wiwaxia (28-12-2017 13:50:06)

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#5 27-12-2017 10:18:13

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 477

Re : le plus court chemin entre deux points sur une sphère

Bonjour, bonjour,

Pour insérer une image sur Bibmath (éviter les "draps de lit") :
1. Avoir une image au format (.jpg ou .png) : si la couleur n'apporte rien, utiliser le N&B
2. Choisir un hébergeur d'image gratuit :
   www.casimages.com, www.hostingpics.net/, www.imageshack.us
   Elles sont répertoriéees ici : https://www.codeur.com/blog/hebergeur-image/ avec d'autres.
   un lien d'affichage sur forum est en général prévu
3. Le poser dans son post.

Pour l'image ci-dessus (déposée sur casimages), j'ai élagué le lien donné pour ne plus utiliser que :
http://nsa39.casimages.com/img/2017/09/ … 631393.jpg
entre balises img pour l'afficher...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 27-12-2017 11:13:53

Wiwaxia
Membre
Lieu : Paris 75013
Inscription : 21-12-2017
Messages : 10

Re : le plus court chemin entre deux points sur une sphère

@ yoshi
Merci, vraiment, pour ces précieuses informations que je vais archiver dans le dossier.

Je songeais à une solution de ce genre, mais qui me laissait dans l'embarras ... J'ignorais tout de ces ressources, et vais regarder tout cela de près.

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