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#1 14-09-2017 05:29:56

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Famille libre de formes linéaires ?

Bonjour à tous!                                                                   

Je bloque sur l'exercice suivant :     
Soient les formes linéaires suivantes sur E=$\mathbb{R_3}[X]$    $f_a:p\mapsto p(a), f_b:p\mapsto p(b),f_c:p\mapsto p(c)$ et $ \phi :p\mapsto { \int_a^b\,p(t)dt}$ où a,b,c sont des réels distincts. La famille ($f_a,f_b,f_c,\phi$) est-elle libre?   

Vu le fait que je n'ai pu exprimer $\phi$ comme combinaison linéaire de $f_a et f_b$ j'ai déduit intuitivement que cette famille est libre. Suis-je dans l'erreur ? Et sinon comment prouver ce résultat intuitif ?                                                     

Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance.

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#2 14-09-2017 08:23:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Famille libre de formes linéaires ?

Bonjour,

  Je pense que la réponse à cette question n'est pas très facile et dépend de la position de $c$ par rapport à $a$ et $b$.
Si $c=(a+b)/2$, alors $\phi$ est combinaison linéaire de $f_a,f_b$ et $f_c$. En effet, on sait que, pour tout polynôme $P$ de degré inférieur ou égal à 3, on a
$$\int_a^b P(t)dt=\frac{b-a}6 \left(P(a)+4P\left(\frac{a+b}2\right)+P(b)\right).$$

Cette formule se démontre aisément en vérifiant qu'elle fonctionne sur $1$, $X$, $X^2$ et $X^3$.
Je la connais, car elle correspond à une méthode d'intégration numérique, la méthode de Simpson, dont on sait qu'elle est exacte sur les polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

Si $c\neq (a+b)/2$, je pense que la famille est libre. Pour le prouver, on part d'une égalité
$$\lambda f_a+\mu f_b+\theta f_c+\gamma\phi=0\ (*)$$
et on essaie de prouver que $\lambda=\mu=\theta=\gamma=0$. Pour cela, on peut évaluer l'égalité (*) en n'importe quel polynôme. Je l'applique avec $P(X)=(X-a)$, $P(X)=(X-a)^2$, $P(X)=(X-a)^3$, on trouve un système de trois équations portant sur $\mu,\ \gamma,\ \theta$ et je pense que si $c\neq (a+b)/2$, ce système n'admet qu'une seule solution, la solution nulle.

Il y a aussi une méthode un peu plus "abstraite". Si $c\neq (a+b)/2$, il n'est pas très difficile de prouver que $f_a,f_b,f_{(a+b)/2},f_c$ forme une famille libre. Si la famille $(f_a,f_b,f_c,\phi)$ était liée, alors :
1. $f_c$ s'écrit comme combinaison linéaire de $f_a,f_b,\phi$.
2. $\phi$ s'écrit comme combinaison linéaire de $f_a,f_b,f_{(a+b)/2}$.
3. Donc, $f_c$ s'écrit comme combinaison linéaire de $f_a,f_b,f_{(a+b)/2}$, ce qui est une contradiction.

F.

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#3 14-09-2017 08:57:05

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Re : Famille libre de formes linéaires ?

Merci beaucoup ,Fred d'avoir pris de ton temps pour répondre(avec tant de détails) à cette préoccupation....Je ne connaissait pas la "méthode de simpson" dont tu fais allusion; je vais essayer d'en savoir plus.        Merci encore!!

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