multiples et diviseurs 3éme

Nioum's · 13-09-2017 18:03:49

Bonjour j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre, quelqu'un peut m'aider?

250 personnes font la queue devant 250 tiroirs fermés numérotés de 1 à 250
1- la première personne ouvre tous les tiroirs
2- la deuxième personne ferme tous les tiroirs qui portent un numéro pair
3- la troisième s'interesse aux tiroirs dont les numéros sont multiples de 3: si un tel tiroir est ouvert elle le ferme si il est fermé elle l'ouvre
4- la quatrième s'intéresse aux tiroirs dont les numéros sont multiples de 4: si un tel tiroir est ouvert elle le ferme si il est fermé elle l'ouvre
5- la cinquième s'intéresse aux tiroirs dont les numéros sont multiples de 5
.......et ainsi de suite jusqu'à la 250 ème personne

A ce moment là le tiroir 12 est-il ouvert? et le tiroir 16?

Combien y a t-il de tiroirs ouverts et quels sont-ils?

Au secours

Merci

freddy · 13-09-2017 18:48:57

Salut,

amusant comme sujet.

Commence par répondre à la question : quels sont les diviseurs de 12 ? A priori, il y en a 6 (dont 1, 2, ..., et 12 )!
Une fois que tu as classé ses diviseurs par ordre croissant, regarde les actions successives .
Par exemple, 1 l'ouvre, puis 2 le ferme, puis ...

freddy · 14-09-2017 10:32:52

Re,

quand tu pousses un peu le raisonnement (si tu es toujours en recherche, sinon, je vais m'arrêter là car je ne vais pas faire ton boulot, même si je vais chercher à la main de mon côté ;-)), tu vas voir apparaître une relation entre la parité du nombre de diviseurs du numéro du visiteur et l'état ouvert ou fermé du tiroir correspondant.

Pour calculer le nombre de tiroirs ouverts et leur numéro, je partirai a priori sur une petite application informatique car il va falloir, entre autres, calculer le nombre de nombres premiers entre 1 et 250 et ça, je ne le connais pas par cœur (entre 1 et 100, je ne le sais pas non plus d'ailleurs). As - tu entendu parler du crible d'Eratosthène ?

Tu es en classe de quoi ? Pas de troisième, sujet bcp trop difficile !

PS : voilà, j'ai terminé.

Dernière modification par freddy (14-09-2017 11:07:41)

freddy · 14-09-2017 13:16:02

Salut,

tu vois, l'ennui quand on ne réfléchit pas assez et qu'on s'en remet à élaborer un pgm de calcul qui fait le boulot à notre place est qu'on ne voit pas ce qui est sous nos yeux.
Je viens de trouver un résultat fort intéressant (qui répond à une question de la même farine que je m'étais posé il y a quelques temps maintenant) qui donne immédiatement la réponse à ta question, voire à une question plus générale !
Je continue à penser que ce n'est pas du niveau de troisième, plutôt Term S (spé maths probablement).

Dernière modification par freddy (15-09-2017 11:24:08)

freddy · 15-09-2017 11:53:54

Salut,

voilà la solution : les tiroirs ouverts ont pour numéro un nombre entier qui est le carré d'un entier naturel. Les autres sont fermés.
Ainsi, les premiers numéros sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Dans le cas d'espèce, il y a 15 tiroirs ouverts.

Pour savoir si un tiroir est ouvert, il suffit de vérifier que le nombre de diviseur de son numéro est impair. S'il est pair, le tiroir est fermé. Hormis 1, si le numéro est un nombre premier, le nombre de diviseur = 2, donc pair. Le tiroir est donc fermé. Bien entendu, il faut s'intéresser au autres numéros.
Le tiroir numéro 1 est ouvert, dès le début du jeu.

D'une manière générale, on sait que le nombre entier [tex]n[/tex] se décompose en un produit de nombres premiers de la forme, par exemple et sans perte de généralité, [tex]n = a^{\alpha}\times b^{\beta}[/tex].
[tex]\alpha[/tex] et [tex] \beta[/tex] sont appelés ordre de multiplicité des facteurs de décomposition.

On sait que le nombre de diviseur est donné par le produit [tex](\alpha+1)\times(\beta + 1)[/tex]

Dès lors que chaque ordre de multiplicité est un nombre pair, le nombre de diviseur est impair. On retrouve par conséquent la propriété ci-dessus énoncée

Il suffit qu'il y ait un ordre de multiplicité impair pour que le nombre de diviseur soit pair. Et dans toute décomposition, il y a soit un ordre impair, soit un ordre pair de multiplicité.
Ce qui achève de démontrer le résultat.

Niveau Terminale S spé maths ? J'ai encore un petit doute.

Dernière modification par freddy (15-09-2017 17:56:13)

tibo · 16-09-2017 01:36:34

Salut,

Tale S spé math, peut-être.
C'est un peu tôt dans l'année pour avoir déjà les outils pour résoudre ce problème. Mais ça peut être un problème ouvert (dit "à prise d'initiative") pour inciter les élèves à se repencher sur la notion de diviseur, qu'ils n'on pas revu depuis le collège.

Tale S spé ISN, possible aussi.
Ce n'est pas très difficile à coder...
J'avoue que c'est d'ailleurs cette piste que j'aurais commencé à étudier le problème...

freddy · 16-09-2017 08:46:11

Hello tibo !

ça veut dire quoi, ISN ?
Je confirme, le code est assez simple.

tibo · 16-09-2017 09:55:57

Re,

Informatique et science du numérique.
C'est une spécialité de Tale S crée il y a 4 ou 5 ans, (en plus de la spé math, spé physique et spé svt)

Après, il est clairement écrit dans le titre 3ème...
Peut-être yoshi pourra-t-il nous éclairer sur la faisabilité de ce problème par un élève de 3ème.
Aucun blocage au niveau définition. Aucun mot du problème est inconnu à un élève de 3ème.

Mais pour le raisonnement... cela me parait hors de portée...
À moins que... ce soit la piste algorithmique qui soit recherchée par l'enseignant.
La réforme du collège a fait une belle place à l'algorithmie et la programmation.

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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