Trisection rapide

Dattier · 04-09-2017 21:17:20

Bonsoir,

Décrire une procédure pour faire une trisection, à la régle et au compas, avec une précision de 0.1 degrés et moins de 45 étapes.
Avec la convention : chaque fois que l'on déplace la mine, change l'écart du compas ou déplace la régle, cela compte une étape.

Bonne soirée.

tibo · 05-09-2017 15:19:25

Salut,

Une idée...
Si j'ai bien compté, une bissection coûte 5 actions.
On a donc le droit à 9 bissections successives, ce qui donne une erreur inférieure à 0.1 degré pour un angle aigu.

yoshi · 05-09-2017 17:11:48

Salut,

J'avais déjà vu une méthode assez complexe (via Thalès)... En la recherchant, je suis tombé sur une méthode (en anglais) qui donne une erreur de [tex]\approx 0,0054^°[/tex]...
Incroyable.
Je n'ai pas compté le nombre de manipulations, mais à vue de nez, on doit être en-dessous de 45.
Au fait, les 45 manip', c'est avec tracé du cercle à trisecter inclus ou pas ?

Je mettrai l'URL plus tard...

Il me semble que Geolabo, le logiciel de géométrie maison, comporte un applet qui fait ça... Il serait intéressant de savoir la méthode employée...

@+

Dernière modification par yoshi (05-09-2017 18:01:59)

Roro · 05-09-2017 22:16:54

Bonsoir,

En suivant l'idée de Tibo, et en remarquant que 1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64 n'est pas très loin de 1/3, on doit y arriver en assez peu de coups (25) quelques soit l'angle ?

Roro.

Dattier · 06-09-2017 08:00:40

Salut,

Bravo à Tibo (j'avais la même solution) : construire une bissectrice coute 4 étapes (et non 5).
Excellent à Roro, avec ta décomposition tu fais beaucoup mieux que moi.
pour Yoshi si tu pouvais nous en dire plus.

Bonne journée.

tibo · 06-09-2017 15:05:41

Salut,

4 étapes pour une bissections? Peux-tu les décrire?

La décomposition de Roro est une suite de bissections successives...

Dattier · 06-09-2017 15:37:32

0/Ecarter le compas d'un écart que l'on ne changera plus.
1/Tracer un cercle qui coupe les deux demi-droites (on garde le cercle, il servira par la suite)
2/Tracer un arc de cercle avec pour centre l'intersection du cercle avec une des demi-droites (sans changer l'écart du compas)
3/Tracer un autre (...), qui coupe l'arc tracer à l'étape 2/
4/Tracer la bisectrice.

Pour ce qui est de la réponse de Roro, je me rends compte que l'approximation qu'il propose n'est pas suffisante (on est à 180/192 prés)
Et effectivement on sera obligé de calculer ses fractions de puissances de 2 via la bissection donc au final en faire 13 (par 180/(3*2^13)<0.1) soit 1+4+3*13=44 étapes (sauf erreur de ma part).

tibo · 06-09-2017 18:18:39

Ha j'avais compté deux pour la "Tracer la bissectrice" vu que tu as indiqué que déplacer la règle est une étape.

Roro · 06-09-2017 18:29:07

Bonjour,

Si la décomposition que je propose n'est pas assez précise, il suffit d'en rajouter une couche, ou deux couches... :
1/2-1/4+1/8-1/16+1/32-1/64+1/128-1/256...
Je pense qu'on arrivera à la précision demandée en beaucoup moins que 45 étapes (surtout si on ne compte que 4 étapes pour une bissectrice).

Roro.

yoshi · 06-09-2017 19:07:36

Bonsoir,

Voilà le lien :
http://userpages.umbc.edu/~rostamia/Geo … n-ext.html
et mon image :

Sur l'un des demi-cercles J'ai placé deux points A et B symétriques par rapport à la perpendiculaire au diamètre en O.
Puis j'ai partagé l'arc AB en 8 parties..
Et je vois maintenant qu'en fait, j'ai fait en fait des manipes en trop, j'aurais dû me limiter à partager en 4 la moitié de l'arc AB contenant B...
Bref :
Arc BF = 2/8 arc BA
Arc BD = 3/8 arc BA
J'ai tracé le diamètre [FC], puis la droite (CD)

Sur [CD) au delà de D j'ai placé E tel que DE = diamètre (Avec Geolabo j'ai reporté deux rayons successifs)
[OE] coupe le cercle en [tex]T_1[/tex] qui est un des points cherchés.
Puis j'ai obtenu [tex]T_2[/tex] en traçant le cercle de centre [tex]T_1[/tex] et de rayon [tex]T_1B[/tex].

Quand on a retenu par cœur la méthode, ça va très vite.

Pour la justification de la précision, se reporter au site...

@+

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