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#1 09-08-2017 11:16:43

siwi
Invité

Vérification

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour corriger ma réponse pour le problème suivant:

On considère \(\displaystyle a,b,\mu,\nu\) des paramètres tels que \(\displaystyle 0\le \mu\le \frac{1}{4}\) , \(\displaystyle 0\le \nu\le\frac{1}{4}\) , \(\displaystyle a>1\) et \(\displaystyle b> 1\) .

Je veux montrer qu'il existe une constante \(\displaystyle c>0\) tel que
\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{a}}(a^{\mu}b)^{\nu}e^{\frac{-2a^{\mu}t^3b}{6\pi^3}}e^{-2ta^{\nu}}dt\le c\)
pour tout \(\displaystyle a,b\)   tels que \(\displaystyle a>1\) , et \(\displaystyle b>1 \)

Voilà ce que j'ai fait:

En utilisant l'inégalité de Young on a:
\(\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}(a^{\mu}b)^{\nu}e^{\frac{-2a^{\mu}\;\;t^3b}{6\pi^3}}e^{-2ta^{\nu}}dt&\le\int_{0}^{\frac{\pi}{a}}(a^{\mu}b)^{\nu}e^{{-\sqrt {\frac{4}{6\pi^3}}}\;\;b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{\nu +\mu}{2}}\;\;t^2}dt\\&\le \int_{0}^{+\infty}(a^{\mu}b)^{\nu}e^{{-\sqrt{\frac{4}{6\pi^3}}}\;\;b^{\frac{1}{2}}a^{\frac{\nu+\mu}{ 2}}\;\;t^2}dt=\frac{1}{2}\frac{(a^{\mu}b)^{\nu}\sqrt{\pi}}{b^ {\frac{1}{4}}a^{\frac{\mu+\nu}{4}}(\frac{4}{6\pi^3 })^{\frac{1}{4}}}\le \frac{\sqrt{\pi}}{2(\frac{4}{6\pi^3})^{\frac{1}{4}}}\end{align*}\)
car on a \(\displaystyle 0\le \nu\le \frac{1}{4}\) , et \(\displaystyle 0\le\mu\le \frac{1}{4}\) alors \(\displaystyle \mu\nu\le \frac{\mu+\nu}{4}\)

Merci de m'aider à vérifier si ma réponse est juste :-)

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