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#1 02-08-2017 15:52:48

jean-marie1
Invité

integrale impropre

Salut, pouvez-vous m'aider svp:
je desire verifier si l'integrale suivante est convergente ou divergente:

\(\displaystyle \int_{1}^{\infty}{\frac{sin(cos(x)+sin(x\sqrt{3}))}{x}}dx\)

je pense qu'elle converge, pour la preuve je vais essayer d'appliquer le critere d'abel :
alors il faut prouver que:  \(\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}{sin(cos(t)+sin(t\sqrt{3}))}dt\) est bornee, alors \(\displaystyle f'(x)=sin(cos(x)+sin(x\sqrt{3}))=0\) nous donne :
\(\displaystyle cos(x)+sin(x\sqrt{3})=0\) (car \(\displaystyle -2\leq cos(x)+sin(x\sqrt{3})\leq 2\) )
alors \(\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{3}-1}(\frac{\pi}{2}+2k\pi) \ ou \ x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}(\frac{\pi}{2}+2n\pi)\) où k et n sont deux entiers relatifs, pour trouver les maxi et les minima il faut etudier le signe de \(\displaystyle f''(x),\) , je vais prendre \(\displaystyle \mu :=\frac{1}{\sqrt{3}-1}(\frac{\pi}{2}+2k\pi) \ et \ \lambda :=\frac{1}{\sqrt{3}+1}(\frac{\pi}{2}+2n\pi)\)

alors comment trouver les maximums et les minimums de f ? (je veux trouver les valeurs exactes si c'est possible)

Merci d'avance

#2 04-08-2017 14:22:25

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 939

Re : integrale impropre

Bonjour,
Tu n'as pas forcément besoin d'étudier $f''$, tu peux dire que les extremums sont forcément là où la dérivée s'annule, c'est donc un sous-ensemble de $\{f(\mu_k)\ |\ k \in \mathbb{Z}\} \cup \{f(\lambda_k)\ |\ k \in \mathbb{Z}\}$. Je ne pense pas qu'on puisse avoir une expression plus simple des extremums. Mais je ne pense pas que ça aide vraiment.

Cela dit, je n'ai pas vraiment d'indication à te donner. Ce $\sqrt{3}$ complique sérieusement le problème !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 04-08-2017 21:40:33

jean-marie1
Invité

Re : integrale impropre

salut, est-il possible de prouver que f est bornée ? (en utilisant ces extremums)
je pense que si on connait le comportement de f à l'infini, cad si $\int_1^{\infty}{sin(cos(t)+sin(t\sqrt{3}))dt}$ converge ou diverge, cela peut nous aider a prouver qu'elle est bornee

#4 06-08-2017 09:09:32

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 939

Re : integrale impropre

En regardant le graphe de $\sin(\cos(t) + \sin(t\sqrt{3}))$, il est difficile de se faire une idée. Les bosses positives sont compensées par des bosses négatives mais de manière imparfaite, et je n'ai pas vu comment partitioner  $[1,x]$ de manière à profiter de ces compensations et contrôler l'intégrale. Le $\sqrt{3}$ étant irrationnel, tout espoir de structure périodique est perdu !


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