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#26 16-07-2017 12:23:39

Alain Ratomahenina
Membre
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

J'ai oublié de préciser que ce théorème est valable pour tout triangles quelconque .

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#27 16-07-2017 12:32:03

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,

Ce que j'en pense ?
Avec ton dessin, je te propose ça :
[tex]c =\sqrt{a^2-h^2}+\sqrt{b^2-h^2}[/tex]

As-tu vérifié le cas ou soit l'angle[tex] \widehat{CAB}[/tex] soit [tex]\widehat{CBA}[/tex] est obtus et donc que la le pied de la hauteur [CH] n'appartient pas au côté [AB] ? En ce qui concerne ma proposition elle ne marcherait clairement pas, il faudait l'adapter légèrement...

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#28 16-07-2017 12:35:10

Alain Ratomahenina
Membre
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

Cher Yoshi

As-tu simplifié mon équation où est ce déjà connu ?

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#29 16-07-2017 12:38:19

Alain Ratomahenina
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

Oui bien sûr , c'est l'évidence même ! La vraie question est de se passer de la hauteur .

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#30 16-07-2017 12:41:59

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,

La vraie question est de se passer de la hauteur .

T'es un marrant dans ton genre ! Et toi dans ta formule, tu t'es passé de la hauteur ?

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#31 16-07-2017 12:44:29

Alain Ratomahenina
Membre
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

Non mais il doit y avoir une formule qui pourrait exister avec seulement les trois côtés....

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#32 16-07-2017 12:52:31

tibo
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,

Je te propose la formule suivante : $a^2=b^2+c^2-2ab\cos\widehat{A}$

Dernière modification par tibo (16-07-2017 13:06:40)


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#33 16-07-2017 12:54:58

Alain Ratomahenina
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

@Tibo

Ta formule qui doit être classique fait intervenir les angles , ce qui rajoute une inconnue .

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#34 16-07-2017 13:04:49

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Salut,

Ta formule qui doit être classique

Parce que tu ne la connais pas ?
Va voir ici : la formule d'Al Kashi !http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … kashi.html

ou là https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_des_cosinus

Ta formule qui doit être classique fait intervenir les angles , ce qui rajoute une inconnue .

Sans une donnée supplémentaire en plus des longueurs de deux côtés, je ne vois pas comment on pourrait trouver LA longueur du 3e...
Elle ne peut pas être unique, loin de là...

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#35 16-07-2017 13:06:52

tibo
Membre actif
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

En fait, on peut dire que l'ensemble des triangles est un espace de dimension 3.
(Ce n'est pas rigoureux du tout d'écrire ça comme ça, et il faudrait ajouter pas mal de précisions, mais grossièrement ça marche)
Cela signifie que pour définir un triangle, il faut connaitre 3 données de ce triangle (les 3 longueurs, un angle et 2 longueurs,...)

Donc l'existence d'une relation liant uniquement les 3 longueurs est impossible.
En effet, avec une telle relation, de 2 longueurs on pourrait calculer la troisième et alors définir complètement le triangle.
Ce qui entre en contradiction avec la dimension 3 de l'espace des triangles.

Dernière modification par tibo (16-07-2017 13:08:21)


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#36 16-07-2017 15:09:36

alain125
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

re

Voici une relation qui ne demande qu'à etre verifiée .

http://www.cjoint.com/c/GGqo4dodiFK

#37 16-07-2017 16:39:35

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Salut,

Et bien, qu'attends-tu ?

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#38 16-07-2017 16:53:46

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

re

il s'agit en fait de surfaces egales dans le triangle quelconque . il faudrait que je puisse mesurer les tracers que j'effectue et je n'en ai pas les moyens ; peut etre le pouvez vous , cela m'aiderait beaucoups .

#39 16-07-2017 17:02:33

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,

Ce qui est vrai pour un triangle quelconque doit l'être aussi pour un triangle rectangle...
Soit a=3, b = 4 et c=5. Ce triangle est rectangle.
c.h = a.b d'où 5h = 12  et donc [tex]h =\frac{12}{5}[/tex]
[tex]c_1=\sqrt{9-\left(\frac{12}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{225-144}{25}}=\frac 9 5[/tex]
[tex]c_2=c-c_1=5-\frac 9 5=\frac{25- 9}{ 5} =\frac{16}{5}[/tex]
[tex]\begin{cases}b.c_1 &= 4\times\frac 9 5&=\frac{36}{5} \\a.c_2&=3\times\frac{16}{5}&=\frac{48}{5}\end{cases}[/tex]

Conclusion ?

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#40 16-07-2017 18:09:46

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

re

merci mon cher Yoshi . C'est vrai que j'aurais pu y penser , essayer avec le triangle rectangle mais cela donne une idée quant à essayer de recolter des valeurs remarquable .
Tant pis , mais je ne desespere pas .....

#41 16-07-2017 18:37:13

tibo
Membre actif
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,

Alain Ratomahenin a écrit :

Tant pis , mais je ne desespere pas .....

Si tu nous disais exactement ce que tu cherches on pourrait peut-être t'aider.


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#42 17-07-2017 06:38:48

yoshi
Modo Ferox
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Bonjour,

Pour abonder dans le sens de tibo, si tu en as la patience, va voir ce fil de discussion sur les triangles à côtés entier et les points intérieurs à distances entières des sommets...
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6918&p=1
Je vais essayer de reprendre ce que j'ai fait et de te sortir sur des triangles exclusivement scalènes :
- la longueur h
- les longueurs c1, c2
dans le cas de longueurs exclusivement entières. Il doit bien y avoir des cas qui existent...
Cela devrait t'aider dans tes recherches formulées ici :

Dans son post #38, Alain Ratomahenin a écrit :

il s'agit en fait de surfaces egales dans le triangle quelconque . il faudrait que je puisse mesurer les tracers que j'effectue et je n'en ai pas les moyens ; peut etre le pouvez vous , cela m'aiderait beaucoups .

Ce que tu en feras te te regarde...

Pourquoi longueurs entières ? Parce que ça simplifierait tes calculs ultérieurs...

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#43 17-07-2017 09:01:09

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

bonjour

voici une relation dans la triangle quelconque qui devrait apporter de nouvelles opportunités quand à déterminer un des cotés du triangle .

http://www.cjoint.com/c/GGri15zXapo

#44 17-07-2017 10:05:46

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Salut,

Tu brilles toujours autant par tes explications...
Ton dessin est inexploitable sans...

Alors, puisque c'est comme ça, chacun son tour de jouer aux devinettes. Chose promise, chose due : j'ai travaillé pour toi...
Je te livre des résultat bruts, sans explications (j'en avais pourtant prévues).


    b     c     a         h    a1    a2
   10    17    21         8     6    15
   13    20    21        12     5    16
   15    20    25        12     9    16
   17    25    28        15     8    20
   13    37    40        12     5    35
   25    29    36        20    15    21
   15    37    44        12     9    35
   20    34    42        16    12    30
   17    39    44        15     8    36
   15    41    52         9    12    40
   20    37    51        12    16    35
   26    40    42        24    10    32
   29    35    48        21    20    28
   25    39    56        15    20    36
   30    40    50        24    18    32
   25    51    52        24     7    45
   26    51    55        24    10    45
   25    52    63        20    15    48
   34    50    56        30    16    40
   30    51    63        24    18    45
   29    52    69        20    21    48
   35    53    66        28    21    45
   20    65    75        16    12    63
   39    60    63        36    15    48
   40    51    77        24    32    45
   25    74    77        24     7    70
   26    74    80        24    10    70
   45    60    75        36    27    48
   50    58    72        40    30    42
   30    74    88        24    18    70
   34    65    93        16    30    63
   40    68    84        32    24    60
   29    75    92        21    20    72

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#45 17-07-2017 11:16:50

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

@Yoshi

Merci beaucoup pour ton travail que je n'oserais remettre en question . Ces valeurs m'ont permis de voir que ma relation est completement à coté . Elle ne doit etre vraie que pour certains triangles quelconques .
En fait , pour un h donné on augmente la longueur de b qui entraine l'augmentation c2 . On voit que la relation est grossièrement verifiée .

Pour le dessin , il s'agit du barycentre d'un triangle quelconque . Comme il est homogène , les forces gravitationnelles appliquées aux sommets sont égales . Le triangle est toujours en équilibre sur son axe pivotant car la somme des moments des forces est égal à 0 .
Ce qui donne une nouvelle relation qui met en jeu les trois cotés . Le travail consiste à déduire les relations existantes dans ce schéma .

J'ai mis ce principe en évidence il y a 30 ans de ça . j'en ais fait part à l'APMEP et à l'académie des sciences sans qu'aucunes suites ne me soient accordées .

#46 17-07-2017 12:48:51

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re

Oui , en fait c'est bien du centre de gravité qu'il s'agit . La relation qui en découle F ( a' + b' + c' ) = 0 peut etre interressante si on arrive à trouver d'autres relations dans ce schéma .

Pour le tableau de valeurs j'ais remarqué qu'elles verifiaient grossièrement la relation hc = ab : s'agit il de triangles rectangles ?
Par contre j'ai vu que la relation de Pythagore avec h**2 + a2**2 = c**2 ? Là j'avoue ne pas comprendre ....

#47 17-07-2017 12:52:49

yoshi
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re,


Avec les valeurs fournies au post #44 (pour un périmètre maxi de 200, mais je peux aller beaucoup plus haut. Le périmètre mini est 48, aucun triangle n'est trouvé avant), pourquoi ne collectes-tu pas les triangles où ta propriété est vraie, puis en les comparant, ne cherches-tu pas à quelle condition ?

Qu'est-ce qui est homogène ?
- Le triangle ? Peux-tu me dessiner un triangle qui ne l'est pas ?
- Le barycentre ? Qu'est-ce-que tu appelles barycentre homogène ? Quand ne l'est-il pas ?

Pour le dessin , il s'agit du barycentre d'un triangle quelconque

Tu vas me trouver pénible...
Mais barycentre tout court, ça ne veut rien dire, c'est incomplet...
Tu as un triangle ABC, On pose A(a), B(b) et C(c).
Moyennant quoi tu peux chercher le barycentre de [tex]\{(A,a),(B,b),(C,c)\}[/tex]
Si tu prends a=b=c=1, alors le barycentre est G centre de gravité du triangle... sinon, non !

Il y a bien longtemps, je m'amusais à construire des carrés magiques...
J'avais ramené chaque case au point centre de chaque carré et je leur avais affecté un coefficient égal au nombre placé dans le carré et j'avais cherché si le Barycentre de ces points affectés des coefficients cités ci-dessus se trouvait au centre théorique du carré...
Autrement dit, dans le domaine physique,
- prenons un plateau solide carré à la structure homogène sur lequel sont tracées n² cases
- suspendons ce plateau par un fil à la structure homogène par son centre théorique : il est horizontal.
- posons sur les n² cases, des masses en matière homogène, positionnées de façon parfaitement centrées dans les cases carrées, de 1 g à n² g
Question : le plateau reste-t-il horizontal ?
A priori, on pourrait croire que oui, et pourtant en général, c'est  non...
Sauf dans un cas bien particulier de carré magique...

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#48 17-07-2017 13:18:24

yoshi
Modo Ferox
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Re:Re,


s'agit il de triangles rectangles ?

En principe non... Peut-être certains le sont-ils, pas vérifié
Ils sont scalènes, présentés ordonnés dans l'ordre croissant des longueurs des côtés c, b, a...
Le point A est opposé au côté de valeur a,... etc...
J'ai choisi cette approche pour que, [BC] étant le plus grand côté, je pied H de la hauteur [AH] abaissée sur [BC] soit toujours entre B et C.
Ceci me permet alors d'en déduire a1 et a2... (l'équivalent des c1, c2 de ta notation).
J'ai calculé l'aire de chaque triangle par la formule de Heron, en utilisant a, je trouve h.
Si h est entier, je continue.
Je calcule alors alors a1
S'il est entier alors je trouve a2 : a-a1...
Je te rassure, je n'ai rien calculé à la main, j'ai modifié un programme écrit en Python il y a 3 ans, qui faisait d'autres choses bien plus complexes...

@+


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#49 18-07-2017 06:42:50

yoshi
Modo Ferox
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Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Bonjour,

Après vérification :
1. Il y a bien des triangles rectangles dans le lot. Code modifié pour les éliminer
2. Il y a avait aussi tous les multiples d'un triangle qui convenait. Code modifié : je les élimine aussi : pas d'intérêt
Après quoi, pas de réponse avant un triangle de périmètre 54...
J'ai poussé le périmètre maxi jusqu'à 5000.
Voici les résultats uniques :


    b     c     a         h    a1    a2
   13    20    21        12     5    16
   25    51    52        24     7    45
   52    73    75        48    20    55
   68    75    77        60    32    45
   65    87    88        60    25    63
   41   104   105        40     9    96
   61   185   186        60    11   175
  111   175   176       105    36   140
  149   221   222       140    51   171
   85   300   301        84    13   288
  233   260   261       208   105   156
  175   318   319       168    49   270
  113   455   456       112    15   441
  145   656   657       144    17   640
  433   650   651       408   145   506
  181   909   910       180    19   891
  369   850   851       360    81   770
  221  1220  1221       220    21  1200
  520  1071  1073       504   128   945
  754   985   987       696   290   697
  505  1287  1288       495   100  1188
  265  1595  1596       264    23  1573
  949  1500  1501       900   301  1200
 1275  1507  1508      1155   540   968
  313  2040  2041       312    25  2016
  671  1875  1876       660   121  1755

Cela fait peu finalement...

@+


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#50 18-07-2017 08:43:44

Alain Ratomahenin
Invité

Re : Démonstration du théorème de Pythagore .

Bonjour

@Yoshi

Tu m'assures que les triangles du deuxième tableau sont quelconques ?
j'ais essayé de verifier la formule de la hauteur h = ab / c . Cette relation est à peu près vérifiée dans le deuxième tableau : Cela marcherait il aussi pour les triangles quelconques ?

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