Bijou analytique ? (Page 1) / Enigmes, casse-têtes, curiosités et autres bizarreries / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#1 11-07-2017 17:26:45

Dattier
Invité

Bijou analytique ?

Salut,


le bijou analytique ?
\(\displaystyle k\geq 2 \text{ et }(f_n)_n\) une suite de fonctions \(\displaystyle C^k(\mathbb R)\)   tel que :
\(\displaystyle \forall t \in \mathbb N, \text{Sup}\{|f^{(j)}(i)|\text{ | }i\in\mathbb Z, |i|\leq t \text{ et } j \in\mathbb N, j\leq k-2\} < \infty\)
et \(\displaystyle \exists M \in \mathbb R,\forall n \in \mathbb N, \forall x\in\mathbb R, f_n^{(k)}(x) \geq M\)
A-t-on l'existence d'une sous-suite  \(\displaystyle (f_{\phi(n)})_n\) tel que :   
\(\displaystyle \exists g\in C^{k-2}(\mathbb R),\forall i \in \{0,...,k-2\}, \forall x\in\mathbb R, \lim \limits_{n\rightarrow \infty} f_{\phi(n)}^{(i)}(x)=g^{(i)}(x)\) ?
avec \(\displaystyle g^{(1)}=g'\) .


Cordialement.

#2 12-07-2017 12:46:11

Dattier
Invité

Re : Bijou analytique ?

Salut,


Un coquille dans la question, j'avais oublié les indices n :

\(\displaystyle k\geq 2 \text{ et }(f_n)_n\) une suite de fonctions \(\displaystyle C^k(\mathbb R)\)   tel que :

- \(\displaystyle \forall t \in \mathbb N, \text{Sup}\{|f_n^{(k-2)}(i)||i\in\mathbb Z, |i|\leq t, n\in \mathbb N\} < \infty\)
- \(\displaystyle \exists N >0, \forall n \in \mathbb N, \forall j \in \mathbb N, j \leq k-3, |f_n(0)|\leq N\)
- \(\displaystyle \exists M \in \mathbb R,\forall n \in \mathbb N, \forall x\in\mathbb R, f_n^{(k)}(x) \geq M\)


A-t-on l'existence d'une sous-suite  \(\displaystyle (f_{\phi(n)})_n\) tel que :   
\(\displaystyle \exists g\in C^{k-2}(\mathbb R),\forall i \in \{0,...,k-2\}, \forall x\in\mathbb R, \lim \limits_{n\rightarrow \infty} f_{\phi(n)}^{(i)}(x)=g^{(i)}(x)\) ?
avec \(\displaystyle g^{(1)}=g'\) .

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