Topologie - intervalle non borné et fermé (Page 1) / Entraide (supérieur) / Forum de mathématiques - Bibm@th.net

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#1 06-07-2017 23:10:29

Gaya
Invité

Topologie - intervalle non borné et fermé

Bonjour / Bonsoir à chers mathématiciens,
Voici la petite question que je n'arrive pas à comprendre, (c'est un exercice de la base d'exercices de bibmath ici c'est l'exercice 3.
Je le résume ici :
Définition de la distance (sur \(\displaystyle X = ]0,+\infty[ \) ) : \(\displaystyle \forall x,y \in X, \; \delta (x,y) = |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}| \)
On montre sans problémes que c'est une distance.
Maintenant, on considére \(\displaystyle A = ]0,1[ \) On montre également sans soucis que A n'est pas bornée, les ennuies commences lorsqu'il faut montrer que c'est un fermé pour la distance définie plus haut.
La correction donnée n'est pas trés clair, on utilise la caractérisation séquentielle des limites, je suis ok mais voici la preuve :
Démontrons ensuite que A est fermée. Soit (xn) une suite de A qui converge vers ℓ>0. Ceci signifie que la suite (1/xn) tend vers 1/ℓ. Par passage à l'inverse, la suite (xn) tend vers ℓ, et donc, puisque xn∈[0,1] pour tout n, c'est aussi le cas de ℓ. Comme de plus ℓ≠0, on a bien ℓ∈A.
Déjà le fait que la suite (xn) converge vers ℓ implique qu'elle tend vers ℓ, je ne comprends pas pourquoi on le signale dans la preuve? (le passage à l'inverse).
Ensuite, si  ℓ=1 ça ne va pas du tout puisque dans ce cas \(\displaystyle ℓ \notin A = ]0,1[ \)
Petite précision (ou pas), nous avons montré que la boule B(1,1)=]1/2,+∞[ pour cette distance.
Excusez-moi pour la longueur de la question.
Et je vous remerci de m'éclairicir sur ce point.
Bonne soirée à vous ;)

#2 07-07-2017 09:38:23

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 421

Re : Topologie - intervalle non borné et fermé

Bonjour,

  D'abord, il y avait une erreur dans l'énoncé de l'exercice (j'ai corrigé l'erreur). Il fallait démontrer que $A=]0,1]$ est fermé pour cette distance.
Concernant ton autre question, tu as oublié de mentionner un point important de la correction. On suppose que $(x_n)$ converge vers $\ell$ pour la distance $\delta$, et la première parte de la preuve consiste à démontrer qu'il y a aussi convergence au sens usuel du terme (c'est-à-dire pour la distance associée à la valeur absolue).

F.

Hors ligne

#3 07-07-2017 09:41:35

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 924

Re : Topologie - intervalle non borné et fermé

Bonjour,
Il y a en effet une subtilité dans ce qui est proposé dans la solution, à savoir l'utilisation de deux notions de convergence : la convergence sur $X$ induite par la distance $\delta$ et la convergence "standard" dans $\mathbb{R}$

Ce qui est dit, c'est : Si une suite $\displaystyle (x_n) \xrightarrow[\delta]{ } l$, alors $\displaystyle (\dfrac{1}{x_n}) \xrightarrow[\mathbb{R}]{} \dfrac{1}{l}$, ce qui est assez immédiat avec la définition de $\delta$ (la correction parle de convergence et de "tend vers"). On exploite ensuite les propriété classique sur $\mathbb{R}$ pour conclure que $l \in [0,1]$.
Le cas $l=0$ est eclu puisque $l \in X$. Mais j'ai l'impression qu'il y a un souci pour le cas $l=1$ sur lequel la correction est silencieuse !
Si on prend $x_n = 1 - \dfrac{1}{n}$, alors $x_n \in A$ et pour autant, elle converge (dans $X$ comme dans  $\mathbb{R}$) vers $1 \notin A$.

--EDIT--
Fred a été plus rapide.
Donc, si $A=]0,1]$, pas de souci !

Dernière modification par Yassine (07-07-2017 09:42:43)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#4 07-07-2017 21:02:57

Gaya
Invité

Re : Topologie - intervalle non borné et fermé

Merci beaucoup pour vos réponses claires et consises Fred et Yassine,  je me sens prêt à affronter la topologie :)

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