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#1 05-06-2017 13:28:12

Ben.jr
Invité

Limite superieur

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait à chercher la limite superieur de $cos(n)+sin(n)$

Merci

#2 05-06-2017 20:58:34

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 179

Re : Limite superieur

bonsoir,
Par exemple, tu commencer par essayer de mettre cette somme sous la forme \(\displaystyle \sqrt2 . \sin(n+ a)\) où \(\displaystyle a\) est une constante bien choisie, genre \(\displaystyle \pi/...\)

Dernière modification par leon1789 (05-06-2017 21:00:07)

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#3 06-06-2017 15:54:36

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Salit, $a=\pi/4$ et apres?

#4 10-06-2017 14:04:48

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 911

Re : Limite superieur

Bonjour,
J'imagine qu'il faut alors regarder si $n + \dfrac{\pi}{4}$ peut s'approcher autant qu'on veut de $\dfrac{\pi}{2}$, à $2k\pi$ près.
C'est à dire, $\forall \varepsilon > 0$, $\exists n,k \in \mathbb{Z}$, $|n + \dfrac{\pi}{4} - 2k\pi| < \varepsilon$, dans ce cas, $\sin(n + \dfrac{\pi}{4})$ sera aussi proche de $1$ qu'on veut.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 17-06-2017 08:58:30

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Bonjour, la lim sup de sin est $sqrt(2),$
Alors a-t-on le droit de dire que la lim suo de $sin(n+\pi/4)$ est 1 car c'est la composée de $n+\pi/4$ par sin?

#6 17-06-2017 08:59:15

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Bonjour, la lim sup de sin est $sqrt(2),$
Alors a-t-on le droit de dire que la lim suo de $sin(n+\pi/4)$ est 1 car c'est la composée de $n+\pi/4$ par sin?

#7 17-06-2017 09:01:35

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Il y a une faute, la lim suo de sin est 1 et $\sqrt{2}$

#8 17-06-2017 14:20:43

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 911

Re : Limite superieur

Bonjour,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris tes posts. Pourrais-tu récapituler ?
Je pense que la partie la plus compliquée de l'exercice est l'approximation diophantienne.


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#9 17-06-2017 21:41:45

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Salut, la limite sup de sin(n) est 1, alors la limite sup de $sin(n+\pi/4)$ est aussi 1 (composee de deux fonction)
Par la limite sup $e^{sin(n)}$ est e
Je cherche une explication pour cela

#10 18-06-2017 15:26:34

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 911

Re : Limite superieur

Bonjour
Quelques remarques :
1) tu dis que $\limsup_{n} \sin(n) = 1$. Est-ce que c'est un résultat que vous aviez déjà montré ou tu penses que c'est évident ?
2) Si $f$ est une fonction quelconque, $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \nRightarrow \limsup_{n} \sin(f(n)) = 1$, il suffit de prendre comme contre exemple les fonctions $x \mapsto 0$ et $x \mapsto 2\pi x$
3) Si par contre, si $f$ est continue et croissante, alors $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \Rightarrow \limsup_{n} f(\sin(n)) = 1$ (du moins, je pense que ça devrait se démontrer simplement).

Dernière modification par Yassine (18-06-2017 15:27:33)


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