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#1 15-06-2017 17:50:09

checkmaths
Membre
Inscription : 15-06-2017
Messages : 2

Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...
Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.

[tex]\textrm{Dans tout l'exercice,  }E\textrm{ et }F\textrm{ sont des espaces vectoriels de dimension finies }(\dim E=n\textrm{, }\dim F=m),\\\textrm{et }\Omega\textrm{ est un ouvert de }E.[/tex]


[tex]\textbf{A.}\hspace{0,8cm}\textrm{Soit }g:\Omega\subset E\rightarrow F\textrm{ une application }C^1\textrm{, }a\in\Omega\textrm{ et }b\in F\textrm{. On pose }M=g^{-1}(\{b\})\textrm{. On suppose}\\\textrm{que }a\in M\textrm{ et que d}g(a)\textrm{ est surjective. On note }E_1=\ker\textrm{d}g(a)\textrm{ et soit }E_2\textrm{ un supplémentaire de }E_1\textrm{ :}\\E=E_1\oplus E_2.[/tex]

[tex]\hspace{0.6cm}1.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer que d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{On a }\ker\textrm{d}g(a)_{|E_2}=E_2\cap\ker\textrm{d}g(a)=\{0\}\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}:E_2\rightarrow F\textrm{ est injective. De +, on a}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{d}g(a)_{|E_2}=\textrm{d}g(a)(E_2)=\textrm{d}g(a)(E_2+\ker\textrm{d}g(a))=\textrm{d}g(a)(E)=F\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}\textrm{ est surjective.}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{Ainsi d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{0,6cm}2.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer qu'il existe }\Omega_1\textrm{ et }\Omega_2\textrm{ des voisinages ouverts de }0\textrm{ dans }E_1\textrm{ et }E_2\textrm{ respectivement, tels}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{que }a+\Omega_1+\Omega_2\subset\Omega.[/tex]

Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?

Dernière modification par checkmaths (15-06-2017 21:57:57)

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#2 16-06-2017 08:19:54

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 484

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Bonjour,

  J'imagine que $\Omega$ est ouvert. Dans ce cas, il s'agit juste d'appliquer l'inégalité triangulaire : Soit $r>0$ tel que $B(a,r)\subset\Omega$. Pose $\Omega_1=B(0,r/2)\cap E_1$ et $\Omega_2=B(0,r/2)\cap E_2$.

F.

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#3 16-06-2017 14:39:49

checkmaths
Membre
Inscription : 15-06-2017
Messages : 2

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Pourrais-tu m'expliquer où et comment tu fais pour utiliser l'inégalité triangulaire ? pcq je n'ai jamais vu d'inégalité triangulaire avec des boules... Je suis vraiment paumé... Merci

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#4 16-06-2017 18:53:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 484

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Tu prends $x\in a+\Omega_1+\Omega_2$. Il s'écrit $x=a+y_1+y_2$ avec $y_1\in \Omega_1$ et $y_2\in\Omega_2$, donc $\|y_1\|<r/2$ et $\|y_2\|<r/2$. Tu en déduis que $\|x-a\|=\|y_1+y_2\|\leq \|y_1\|+\|y_2\|\leq\dots$.

F.

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#5 16-06-2017 21:06:22

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Bonsoir,
Une petite question Fred, qu'est ce qui garantit que $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont ouverts ? notamment dans le cas $E_1=\{0\}$.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#6 16-06-2017 21:51:40

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 484

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Si $E_1=\{0\}$, alors $\Omega_1=E_1=\{0\}$ est bien un ouvert de $E_1$ (relativement à la topologie induite sur $E_1$).
Un ouvert de $E_1$ est l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $E_1$.

F.

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#7 17-06-2017 09:52:25

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Sous-variétés et multiplicateurs de Lagrange

Ah, j'avais mal lu. Je n'ai pas vu qu'on demandait des ouverts de $E_1$ et de $E_2$ respectivement, au temps pour moi !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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