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#1 05-06-2017 13:28:12

Ben.jr
Invité

Limite superieur

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait à chercher la limite superieur de $cos(n)+sin(n)$

Merci

#2 05-06-2017 20:58:34

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 203

Re : Limite superieur

bonsoir,
Par exemple, tu commencer par essayer de mettre cette somme sous la forme [tex]\sqrt2 . \sin(n+ a)[/tex] où [tex]a[/tex] est une constante bien choisie, genre [tex]\pi/...[/tex]

Dernière modification par leon1789 (05-06-2017 21:00:07)

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#3 06-06-2017 15:54:36

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Salit, $a=\pi/4$ et apres?

#4 10-06-2017 14:04:48

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Limite superieur

Bonjour,
J'imagine qu'il faut alors regarder si $n + \dfrac{\pi}{4}$ peut s'approcher autant qu'on veut de $\dfrac{\pi}{2}$, à $2k\pi$ près.
C'est à dire, $\forall \varepsilon > 0$, $\exists n,k \in \mathbb{Z}$, $|n + \dfrac{\pi}{4} - 2k\pi| < \varepsilon$, dans ce cas, $\sin(n + \dfrac{\pi}{4})$ sera aussi proche de $1$ qu'on veut.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 17-06-2017 08:58:30

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Bonjour, la lim sup de sin est $sqrt(2),$
Alors a-t-on le droit de dire que la lim suo de $sin(n+\pi/4)$ est 1 car c'est la composée de $n+\pi/4$ par sin?

#6 17-06-2017 08:59:15

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Bonjour, la lim sup de sin est $sqrt(2),$
Alors a-t-on le droit de dire que la lim suo de $sin(n+\pi/4)$ est 1 car c'est la composée de $n+\pi/4$ par sin?

#7 17-06-2017 09:01:35

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Il y a une faute, la lim suo de sin est 1 et $\sqrt{2}$

#8 17-06-2017 14:20:43

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Limite superieur

Bonjour,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris tes posts. Pourrais-tu récapituler ?
Je pense que la partie la plus compliquée de l'exercice est l'approximation diophantienne.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#9 17-06-2017 21:41:45

Ben.jr
Invité

Re : Limite superieur

Salut, la limite sup de sin(n) est 1, alors la limite sup de $sin(n+\pi/4)$ est aussi 1 (composee de deux fonction)
Par la limite sup $e^{sin(n)}$ est e
Je cherche une explication pour cela

#10 18-06-2017 15:26:34

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Limite superieur

Bonjour
Quelques remarques :
1) tu dis que $\limsup_{n} \sin(n) = 1$. Est-ce que c'est un résultat que vous aviez déjà montré ou tu penses que c'est évident ?
2) Si $f$ est une fonction quelconque, $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \nRightarrow \limsup_{n} \sin(f(n)) = 1$, il suffit de prendre comme contre exemple les fonctions $x \mapsto 0$ et $x \mapsto 2\pi x$
3) Si par contre, si $f$ est continue et croissante, alors $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \Rightarrow \limsup_{n} f(\sin(n)) = 1$ (du moins, je pense que ça devrait se démontrer simplement).

Dernière modification par Yassine (18-06-2017 15:27:33)


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