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#1 15-06-2017 22:48:34

siwi123
Invité

Valeurs propre d'une matrice

Bonsoir,

Pour pour tout \(\displaystyle t\ge 0\) , on note \(\displaystyle r=\sqrt{1+4a}\) où \(\displaystyle a\ge 0\) est un paramètre et on considère


\(\displaystyle A_t=\begin{pmatrix}\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})&4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})\\4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})&\Big(ch(\frac{t}{2})-r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})\end{pmatrix}\)


Je veux déterminer les valeurs propres de la matrice \(\displaystyle A_t\) .

\(\displaystyle \lambda\) est une valeur propre de \(\displaystyle A_t\) si et seulement si \(\displaystyle \det(A_t-\lambda\; I)=0\)

J'ai noté \(\displaystyle \alpha(t)=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2})\) et \(\displaystyle \beta(t)=4a^{1/2}r\;sh^2(\frac{t}{2})\)

et donc  \(\displaystyle A_t=\begin{pmatrix}\alpha(t)&\beta(t)\\ \beta(t)&\alpha(t)-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})\end{pmatrix}\)

Par suite  \(\displaystyle \begin{align*} \det(A_t-\lambda\; I)&=\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)\Big(\alpha(t)-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-\lambda\Big)-\beta(t)^2\\&=\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)^2-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})\Big(\alpha(t)-\lambda\Big)-\beta(t)^2 \end{align*}\) .

Je n'arrive pas à conclure. Y a-t-il quelqu'un qui a une astuce ?
Merci en avance.

#2 16-06-2017 00:16:28

siwi123
Invité

Re : Valeurs propre d'une matrice

Voici ma réponse, merci de m'aider à la corriger et à la simplifier si c'est possible:

Si on pose \(\displaystyle X(t)=\alpha(t)-\lambda\)

On a \(\displaystyle \begin{align*} \det(A_t-\lambda\; I)&=X(t)^2-4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})X(t)-\beta(t)^2 \end{align*}\)

\(\displaystyle \begin{align*}\Delta(t)&=16r^2\;sh(\frac{t}{2})^2\;ch(\frac{t}{2})^2+4\beta(t)^2\\&=16r^2\;sh(\frac{t}{2})^2\;ch(\frac{t}{2})^2+4*16ar^2sh^4(t/2)=16r^2sh^2(t/2)(ch(\frac{t}{2})^2+a\;sh^2(t/2)\ge 0\end{align*}\)

\(\displaystyle \begin{align*}X_1(t)&=\frac{4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-4rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}}{2}\\&=2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}\)

\(\displaystyle \begin{align*}X_2(t)&=\frac{4r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+4rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}}{2}\\&=2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}\)

et donc les deux valeurs propres de \(\displaystyle A_t\) sont

\(\displaystyle \begin{align*}\lambda_1(t)&=\alpha(t)-X_1(t)\\&=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2}) -2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})+2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}\)

et \(\displaystyle \begin{align*}\lambda_2(t)&=\alpha(t)-X_2(t)\\&=\Big(ch(\frac{t}{2})+r\;sh(\frac{t}{2})\Big)^2+4a\;sh^2(\frac{t}{2}) -2r\;sh(\frac{t}{2})\;ch(\frac{t}{2})-2rsh(t/2)\sqrt{(ch(\frac{t}{2})^2+4a\;sh^2(t/2)}\end{align*}\)

#3 16-06-2017 14:16:49

PTRK
Membre
Inscription : 14-12-2016
Messages : 79

Re : Valeurs propre d'une matrice

Pour moi c'est correct (petite vérification grâce à la trace de $A_t$), mais je ne sais pas simplifier, je n'ai jamais manipulé les fonctions hyperboliques $\cosh$ et $\sinh$

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