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#1 14-06-2017 00:05:09

tchiko23
Invité

Chaine de markov

Bonsoir,
Est ce qu'une chaine de markov peut prendre comme argument plusieurs suites qui suit différents loi de probabilité !?
exemple Xn+1= F(Xn,Zn,Yn))
Merci.

#2 14-06-2017 17:27:53

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Chaine de markov

Bonsoir,
Je pense qu'il faut clarifier ta question, une chaine de Markov ne "prend" pas d'argument. C'est un processus stochastique (famille de variables aléatoires).
Je pense que tu fais référence au critère fondamental des chaines de Markov. Est-ce bien ça ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 14-06-2017 20:09:06

tchiko23
Invité

Re : Chaine de markov

Justement au critère fondamental, merci pour votre réponse .

#4 14-06-2017 20:50:38

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Chaine de markov

Le critère fondamental dit que si $Y=(Y_n)_{n\ge1}$ est une suite de v.a. indépendantes de même loi dans un espace $F$ et $f: E \times F \to E$, alors $(X_n)_{n\ge0}$ définie par $X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1})$ et telle que $X_0$ est indépendante de $Y$ est une chaîne de Markov homogène.

L'espace $F$ est en réalité très général, tu peux très bien avoir $Y_n = (A_n, B_n, C_n)$ avec $A_n \in F_A$, $B_n \in F_B$ et $C_n \in F_C$ par exemple, poser $F=F_A \times F_B \times F_C$ et donc écrire formellement $f(X_n,Y_{n+1})=F(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$.
Il faut juste vérifier que le triplet $(A_n, B_n, C_n)$ vérifie bien les conditions requises (IID et indépendant de $X_0$).


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#5 14-06-2017 21:28:16

tchiko23
Invité

Re : Chaine de markov

Merci, est ce qu'il faut pas vérifier une condition qu'ils soient indépendantes entre eux (An,Bn,Cn)(An,Bn,Cn) ?

#6 15-06-2017 06:56:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Chaine de markov

Le terme "entre eux" est un peu vague, d'autant que tu répètes deux fois le même indice. Peux-tu préciser


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#7 15-06-2017 17:05:55

tchiko23
Invité

Re : Chaine de markov

* Je veux dire par "entre eux" : c'est que aucune v.a qui appartient a la première suite ne doit pas dépendre d'une autre qui appartient a une autre suite de v.a.

*
L'espace $F$ est en réalité très général, tu peux très bien avoir $Y_n = (A_n, B_n, C_n)$ avec $A_n \in F_A$, $B_n \in F_B$ et $C_n \in F_C$ par exemple, poser $F=F_A \times F_B \times F_C$ et donc écrire formellement $f(X_n,Y_{n+1})=F(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$.
Il faut juste vérifier que le triplet $(A_n, B_n, C_n)$ vérifie bien les conditions requises (IID et indépendant de $X_0$).

$f(X_n,Y_{n+1})=F(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$. !!!!! tu as défini F comme un espace.

* Une autre question :
Supposons que $X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1})$  ,f  est non linéaire est ce qu-on peut dire toujours que $X_n$ est une chaine de markov ?
y'aura t'il du changement au niveau de techniques de démonstration , exemple homogénéité , irréductibilité ?!!

Merci

#8 15-06-2017 17:56:49

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 945

Re : Chaine de markov

Oui, j'ai appelé $F$ l'espace du même nom que la fonction qu tu avais donnée. Tu peux alors remplacer ta fonction $F(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$ par $g(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$ et remplacer ce que j'ai écrit par $f(X_n, Y_{n+1})=g(X_n, A_{n+1}, B_{n+1}, C_{n+1})$

Non, l'indépendance c'est en tant que triplet, c'est $Y_i$ indépendante de $Y_j$ pour $i \neq j$.
Donc, pour $U,V$ dans la tribu générée par $Y$, il faut montrer que $\Pr(Y_i \in U, Y_j \in V) = \Pr(Y_i \in U)\Pr(Y_j \in V)$, ce qui s'écrit comme
$\Pr(A_i \in U_A, B_i \in U_B, C_i \in U_C, A_j \in V_A, B_j \in V_B, C_j \in V_C) = \Pr(A_i \in U_A, B_i \in U_B, C_i \in U_C)\Pr(A_j \in V_A, B_j \in V_B, C_j \in V_C)$

il n'y a aucune condition de linéarité sur $f$ (ou $g$). Il faut juste que ce soit une fonction mesurable.


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#9 15-06-2017 18:59:23

tchiko23
Invité

Re : Chaine de markov

Merci pour vos réponses qui sont riches .

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