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#1 01-06-2017 19:23:21
- Joan94
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Intégration numérique
Bonsoir à vous tous,j'ai répondu à la première question de l'exo ci-dessous mais j'aurai voulu qu'on m'explique comment faire pour la question 2 si possible.
Voici cet exo:
Soit la fonction [tex] f(x)= \frac{1}{1+x^2}[/tex]
1)Calculer [tex] I=\int_{-1} ^ 1 f (x) dx .[/tex]
2)Construire la formule suivante:
[tex] I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_1(x) =a.f(-1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).
[/tex]
Relation d'ordre 2 de précision.
Montrer que sa précision va jusqu'à l'ordre 3.
Il y a d'autres questions mais c'est surtout la 2 qui m'intéresse pour l'instant.
Dernière modification par Joan94 (01-06-2017 19:24:09)
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#2 02-06-2017 09:43:54
- PTRK
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Re : Intégration numérique
Petit commentaire : je ne vois pas pourquoi $J_1$ dépendrait d'une quelconque variable $x$, là où tu intégres une fonction à une variable sur le segment $[-1,1]$.
Ensuite la première chose qui me vient à l'esprit, avec une fonction infiniment dérivable surtout quand on demande l'expression de la fonction en certains point, c'est la série de Taylor : as-tu essayé ?
Dernière modification par PTRK (02-06-2017 09:44:33)
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#3 02-06-2017 11:38:57
- Yassine
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- Messages : 1 090
Re : Intégration numérique
Bonjour,
La méthode d'intégration numérique "Quadrature de Gauss" consiste à approximer l'intégrale d'une fonction par son évaluation en un nombre fini de points dans intervalle d'intégration :$\displaystyle \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)$.
Il existe plusieurs variantes (Kronrod, Hermite, ...).
J'ai l'impression que c'est de ça qu'il s'agit.
Regarder ici pour plus de détail sur la méthode.
Cela dit, j'ai quand même l'impression que le problème est mal posé.
Vu qu'on connait $I$, je peux poser $a=c=0$ et $b=I$ et j'ai une égalité $I=af(-\dfrac{1}{2})+bf(0)+cf(\dfrac{1}{2})$
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#4 02-06-2017 12:50:59
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Intégration numérique
Bonjour
Est ce qu'on ne demande les coefficients tels que la relation soit vraie en remplaçant f par tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ce qui justifierait l'apparition de l'expression 'ordre 2'. Dans ce cas il suffit d'écrire l'égalité avec f=1, f=x et f=x^2
Fred
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#5 02-06-2017 18:13:41
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Re : Intégration numérique
Petit commentaire : je ne vois pas pourquoi $J_1$ dépendrait d'une quelconque variable $x$, là où tu intégres une fonction à une variable sur le segment $[-1,1]$.
Ensuite la première chose qui me vient à l'esprit, avec une fonction infiniment dérivable surtout quand on demande l'expression de la fonction en certains point, c'est la série de Taylor : as-tu essayé ?
Salut,euh non j'ai pas essayé avec Taylor,mais ce que Fred a dis(voir son message) ressemble à ce qu'on a fait dans un exo,je vais trouvé l'exo et je vous tiens tous au courant ok?
Personne ne comprends grand chose avec ce prof...
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#6 02-06-2017 18:36:48
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Re : Intégration numérique
Bonjour
Est ce qu'on ne demande les coefficients tels que la relation soit vraie en remplaçant f par tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ce qui justifierait l'apparition de l'expression 'ordre 2'. Dans ce cas il suffit d'écrire l'égalité avec f=1, f=x et f=x^2
Fred
Ce que tu dis me dis quelque chose,j'ai vu ça dans un exo en cours,je te tiens au courant au plus tard demain,merci pour votre aide a vous tous!
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#7 02-06-2017 18:44:19
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Re : Intégration numérique
Bonjour,
La méthode d'intégration numérique "Quadrature de Gauss" consiste à approximer l'intégrale d'une fonction par son évaluation en un nombre fini de points dans intervalle d'intégration :$\displaystyle \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n \omega_i f(x_i)$.
Il existe plusieurs variantes (Kronrod, Hermite, ...).
J'ai l'impression que c'est de ça qu'il s'agit.
Regarder ici pour plus de détail sur la méthode.Cela dit, j'ai quand même l'impression que le problème est mal posé.
Vu qu'on connait $I$, je peux poser $a=c=0$ et $b=I$ et j'ai une égalité $I=af(-\dfrac{1}{2})+bf(0)+cf(\dfrac{1}{2})$
Il est probablement mal posé,et je ne comprends il dit "construire",enfin bref,ce que dis Fred semble ressembler a un exo qu'on a vu en cours.
Merci pour votre aide
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#9 13-06-2017 16:38:12
- Joan94
- Membre
- Inscription : 22-09-2013
- Messages : 50
Re : Intégration numérique
On dirai que mon prof utilise la méthode de la quadrature de Gauss pour résoudre ce type d'exo,donc j'ai tenté de le refaire.
Merci d'avance
Voici l'exo(complet).
Soit la fonction [tex]f(x)= \frac{1}{1+x^2}[/tex]
1)Calculer [tex]I=\int_{-1} ^ 1 f (x) dx .[/tex] (indication (tan(x))'=1+tan²(x))
2)Construire la formule suivante:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_1(x) =a.f(-1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).[/tex]
Relation d'ordre 2 de précision.
Montrer que sa précision va jusqu'à l'ordre 3.
3)Construire la formule suivante :
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1).[/tex]
Relation d'ordre 3 de précision.
4)Construire la formule:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})[/tex]
Relation d'ordre 3 de précision.
5)Utiliser J1,J2,J3 pour calculer 3 valeurs approchées de I.
6)Sans calculer aucune formules d'erreurs,quel doit être la valeur la plus précises?
J'ai essayé de répondre grâce à un exo similaire vu en cours,voici donc mes réponses:
1)Pour cette question,l'intégrale c'est [tex]tan^{-1} (x)[/tex] donc[tex]I=tan^{-1} (1)-tan^{-1} (-1)=\frac{\pi}{2}[/tex] donc 90 degrés.
Après pour la question 2) j'ai dis que comme la précision va à l'ordre 3,alors on peut dire que les polynôme d'ordre 3 on pour forme canonique {1,x,x^2,x^3}.
Puis on pose au début f(x)=1 ce qui implique que [tex]\int_{-1}^ 1 dx[/tex]=2 d'ou [tex]a.f(-1/2).1+b.f(0).1+c.f(1/2).1=2.[/tex].
se traduit par
[tex]a(\frac{1}{1+\frac{1}{4}})+b(1)+c(\frac{1}{1+\frac{1}{4}})=2[/tex]
c'est à dire
[tex]\frac{4}{5}a+b+\frac{4}{5}c=2[/tex]
Ensuite on dois faire pareil avec f(x)=x ,f(x)=x²,et f(x)=x^3 normalement.
Mais pour le 3) on obtient donc:
On a f(x)=x maintenant donc
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2).
=\int_ f (x) dx=\int_ x dx=1/2-1/2=0=d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2).
[/tex]
Puis pour le 4) On obtient avec f(x)=x²:
[tex]I=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx J_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})=\int_ x^2 dx=2/3=(g+j).(25/34)+(h+i).(25/26).
[/tex]
Après pour trouver les coefficient a,b,c et j,g,h,i c'est une autre histoire.
On voit juste que d,e,f sont forcément nuls.
5) je ne sais pas,ni pour le 6) .
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