Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 01-06-2017 18:01:02

Cirdec
Invité

équivalence

Bonjour,
a-t-on bien l'équivalence suivante : pgcd(x;y)=1 <=> pgcd(x²;y²)=1 ?
j'ai démontré l'implication <= par contraposée en supposant qu'il existe un diviseur stricte de x et y et alors il serait aussi diviseur stricte de x² et y².
J'ai démontré l'implication => en décomposant en facteurs premiers x et y sachant que les nombres premiers intervenant dans la décomposition de x et de celle de y sont tous distincts. Il en sera de même pour x² et y².
Est-ce correct ?
Merci bien,
C.

#2 02-06-2017 08:54:32

PTRK
Membre
Inscription : 14-12-2016
Messages : 96

Re : équivalence

Bonjour, alors pour moi c'est correct
<= : ok pour la contraposée.
=>: rien à redire.

Dernière modification par PTRK (06-06-2017 08:41:04)

Hors ligne

#3 03-06-2017 13:23:23

Cirdec
Invité

Re : équivalence

Bonjour,
pour la contraposée, je suppose que PGCD(x,y) est différent de 1 c'est-à-dire que p est un diviseur strictement supérieur à 1 de x et y alors p serait aussi un diviseur de x² et y², c'est-à-dire que PGCD(x²,y²) serait aussi différent de 1, ce qui prouve bien que
PGCD(x²,y²)=1 implique PGCD(x,y)=1.
Je ne comprends pas votre remarque ?
Merci,
C.

#4 04-06-2017 19:58:28

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 975

Re : équivalence

Bonsoir
Autre démonstration que je trouve intéressante (je vais noter $pgcd(x,y)=x\vee y$) : on commence par remarquer qu'il suffit de montrer que $x\vee y = 1 \Leftrightarrow x^2\vee y = 1$ et on utilise Bezout.
$x\vee y = 1 \Leftrightarrow \exists u,v\ ux +vy = 1 \Leftrightarrow \exists u,v\ (ux +vy)^2 = 1 \Leftrightarrow ux^2 + (2uxv + v^2)y = 1 \implies x^2 \vee y = 1$
$x^2\vee y = 1 \Leftrightarrow \exists u,v\ ux^2 +vy = 1 \Leftrightarrow \exists u,v\ (ux)x +vy = 1 \implies x \vee y = 1$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#5 06-06-2017 08:40:14

PTRK
Membre
Inscription : 14-12-2016
Messages : 96

Re : équivalence

Cirdec a écrit :

Bonjour,
pour la contraposée, je suppose que PGCD(x,y) est différent de 1 c'est-à-dire que p est un diviseur strictement supérieur à 1 de x et y alors p serait aussi un diviseur de x² et y², c'est-à-dire que PGCD(x²,y²) serait aussi différent de 1, ce qui prouve bien que
PGCD(x²,y²)=1 implique PGCD(x,y)=1.
Je ne comprends pas votre remarque ?
Merci,
C.

Pardon, j'ai confondu PGCD et diviseur, grossière erreur de ma part. Je corrige.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quelles sont les lettres manquantes? Etes-vous un humain ou un roxxx?

Pied de page des forums