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Problème de polyèdre et formule d'EULER

Bonjour à tous,

Tout d'abord JOYEUX NOEL et puis voilà j'ai un petit problème que je n'arrive pas à résoudre ,pouvez-vous m'aider SVP????......

On considère un polyèdre régulier convexe, on admet la formule d' Euler :  S+F-A = 2    avec S le nombre de sommets, F le nombre de faces et A le nombre d'arêtes. Par ailleurs, on note    n le nombre de côtés de chaque face    et    p le nombre d'arêtes issues de chaque sommet.

1) Montrer que : F*n = S*p = 2A
2) Démontrer que : 1/p + 1/n = 1/2 + 1/A
3) Déterminer tous les couples d'entiers naturels ( n , p ) tels que 1/p + 1/n > 1/2   et     n> ou égal à 3    et     p> ou égal à 3.

     Merci d'avance. Au revoir!

freeman

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Re : Problème de polyèdre et formule d'EULER

Joyeux Noël.

Chaque face a n cotés qui sont des arêtes. En tout il y a F faces. Chaque arête est commune à deux faces, donc F.n=2A (on a compté les cotés deux fois, tout simplement). De même S.p=2A.

Ensuite, tu remplace S et F dans la formule d'Euler, en fonction des résultats du 1) (F=2A/n, S=...)

Pour le 3), je te conseille d'essayer les couples de nombres plus grands que 3 qui te viennent à l'esprit (quite à prendre ta calculette). Après essaye de justifier à l'aide d'inégalités (si n>=4, que dire de 1/n ?)

Où donc est passé le 4), c'est à dire la conclusion de ce bel exercice ? Qu'en déduit-on ? Que (n;p) ne peut prendre que les 5 couples de valeurs trouvés au 4), et qu'en fin de compte "il n'existe que cinq polyèdres réguliers":

si n=3, p=3 : le tétraèdre régulier (3 arêtes par face, 3 arêtes issues de chaque sommet)
si n=3, p=4 :  l'octaèdre régulier
si n=3, p=5 : l'icosaèdre régulier
si n=4, p=3 : comment ça s'appelle déja ?
si n=5, p=3 : et ça  ?

Voilà, laisse-toi le temps de comprendre, chaque question est astucieuse.

Dernière modification par freeman (25-12-2005 05:26:51)