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#1 27-05-2017 10:08:02

jean-pierre1
Invité

integrale à parametre

Bonjour, pour vérifier qu'une integrale dependant d'un parametre $F(x)=\int_{I}{f(x,t)}dt$ est de classe $C^k$ sur E, alors il faut vérifier les hypotheses suivantes :

$1) \ f, \frac{\partial f}{\partial x},...,\frac{\partial^k f}{\partial x^k} \ existent \ et \ sont \ continues \ sur \ E \times I$
$2) \ pour \ tout \ x \in E, \ pour \ tout \ i \in \left\{0,1,...,k-1 \right\}, \frac{\partial^i f}{\partial x^i} \ sont \ integrables \ sur \ I$
$3) \ \frac{\partial^k f}{\partial x^k} \ verifie \ l'hypothese \ de \ domination \ sur \ E \times I$

Pouvez vous m'expliquer, s'il vous plait, si le resultat (F est de classe $C^k$ sur E) change-t-il lorsqu'on remplace l'hypothese 2) par l'hypothese suivante : $pour \ tout \ x \in E, f \ est \ integrable \ sur \ I ?$ Si non, pourquoi ?

merci d'avance

#2 28-05-2017 11:26:13

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : integrale à parametre

Bonjour

  D'abord les conditions que tu donnes sont des conditions suffisantes et non des conditions nécessaires. Tu dois remplacer il faut par il suffit dans ce que tu as écrit ! Et oui l'énoncé que je connais et que je sais démontrer par récurrence demande bien l'intégrabilité de toutes les derivées partielles.

F.

Hors ligne

#3 28-05-2017 15:10:56

Jean-pierre1
Invité

Re : integrale à parametre

Salut, j'ai posé cette question car en lisant dans le livre analyse 4 Mp, jean-marie monier, que pour prouver qu'une serie de fonction $\sum_{n}{f_n}$ est de classe $C^k$ sur I, il suffit que les hypotheses suivantes soient verifiees :
1) pour tout $n \in N,f_n$ est de classe $C^k$
2) pour tout i $\in$ {$0,1,...,k-1$}$\sum_n{f_n^{(i)}}$ sur I
3) $\sum_n{f_n^{(k)}}$ converge uniformement sur tout compact de I.
La preuve est immediate, par recurrence sur k, apres la preuve il met une remarque qui dit, que si on remplace l'hypothese 2) par: $\sum_{n}{f_n} \ converge \ simplement \ sur \ I, $
Alors le resultat ne change pas, c'est pour cela j'ai posé la question mais sur les integrales a parametre, je pense qu'aussi ca marche sur les integrales (on peut toujours trouver une analogie entre les integrales a parametre et les series de fonctions).
Et, ma question est : pourquoi ce remplacement ne change pas le resultat que les integrales a parametre ou les series de fonctions restent de classe $C^k ?$

#4 28-05-2017 15:15:48

jean-pierre1
Invité

Re : integrale à parametre

excusez moi, dans l'hypothese 2) j'ai oublié d'ecrire que $\sum_n{f_n}^(i)$ converge simplement sur I

#5 29-05-2017 09:32:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : integrale à parametre

Bonjour,

  Je pense que la vraie analogie entre série et intégrales serait :

* pour les hypothèses fortes, supposer la convergence uniforme des séries de fonctions / l'hypothèse de domination sur $E\times I$ pour les dérivées partielles
* pour les hypothèses faibles, supposer la convergence simple des séries de fonctions / supposer l'intégrabilité des dérivées partielles.

F.

Hors ligne

#6 29-05-2017 10:42:21

Jean-pierre1
Invité

Re : integrale à parametre

Bonjour, connaissez-vous pourquoi pour les series de fonctions, l'hypothese 2) (pour tout $i \in$ {$0,1...,k-1$}, $\sum_n{fn^{(i)}}$ converge simplement) par l'hypothese faible : $\sum_n{f_n}$ converge simplement sur I?

#7 29-05-2017 16:14:59

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : integrale à parametre

Re-

  Comme tu l'as dit, cela se démontre par récurrence sur $k$. Précisément, on démontre par récurrence sur $k$ que la condition avec la $\sum_n f_n^{(i)}$ qui converge simplement pour $i=0,\dots,k-1$ entraîne la condition avec la convergence uniforme sur tout segment inclus dans $I$.
L'argument clé est pour $k=1$. Posant $F_N=\sum_{n=0}^N f_n$, cela vient de
$$F_N(x)-F_N(a)=\int_{a}^x F_N'(t)dt$$
et la convergence uniforme de $F_N'$ vers $G$ entraîne la convergence uniforme de $F_N$ vers $x\mapsto \int_a^x G(t)dt+F(a)$.
On peut même remplacer le fait que $\sum_n f_n^{(i)}$ converge simplement par $\sum_n f_n^{(i)}$ converge en un point.

F.

Hors ligne

#8 29-05-2017 19:01:42

Jean-pierre1
Invité

Re : integrale à parametre

Salut, ce qui m'a etonné est que dans l'hypothese 2), il faut verifier que k series de fonctions doivent converger simplement puis il l'a remplace par une plus faible ($\sum_n{f_n}$ converge simplement [remarquons que cette fois il faut verifier la convergence d'une SEULE serie de fonction])

Comment a-t-il degagé cette hypothese faible? Et quel est le lien entre cette hyp et l'hyp 2) ?

#9 29-05-2017 20:01:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : integrale à parametre

Re

  Si on ne rajoute pas l'hypothèse de convergence en au moins un point de chaque série alors je ne sais pas faire et je ne suis même pas sûr que ce soit vrai !

F

Hors ligne

#10 04-06-2017 21:01:57

Jean-pierre1
Invité

Re : integrale à parametre

Merci pour l'aide

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