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#1 07-05-2017 14:21:26

Nevtey
Invité

Probabilité : loi d'un vecteur

Bonjour ,

je cherche à faire cet exercice cependant je ne saisis pas complètement comment trouver la loi d'une probabilité sur un vecteur (question 2 , loi de X-Ti).

je sais que X est un vecteur à N coordonnées , chaque coordonnée étant égale a 0 ou 1  mais je suis totalement perdu quant à comment trouver la dites loi , d'ailleurs j'ai aussi du mal à comprendre ce que représente exactement X-Ti.

il me semble que la loi de Ti est bien
P(Ti=k) = (1-1/n)^(k-1) * 1/n

voila tout , merci d'avance

exercice

#2 08-05-2017 11:19:16

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Probabilité : loi d'un vecteur

Bonjour,
Je ne sais pas si le terme "vecteur" est le plus adapté pour décrire $X_t$.
Dans un premier temps, je pense que le plus simple c'est de voir $X_t$ comme un élément de l'ensemble des états possibles $\{0,1\}^N$ dont le cardinal est $2^N$ et donc la loi de $X_t$ est $P(X_t=e)$ avec $e \in \{0,1\}^N$ (un peu comme on calculerais $P(Jet_t = Face)$ pour un jet d'une pièce).
On te demande donc de montrer que
$P(X_{n+1}=e \ |\ X_0=e_0, \cdots,X_{n-1}=e_{n-1}, X_n=f) = P(X_{n+1}=e \ |\ X_n=f)$ pour tout $e_0, \cdots,e_{n-1},e,f \in \{0,1\}^N$.

Je pense qu'il faut que tu utilises le critère fondamental $X_{n+1}=f(X_n,Y_{n+1})$ où $Y_n \in \{1,\cdots,N\}$ indique la particule qu'on échange à l'instant $n$ (on aurait : $X_{n+1}(i) = X_n(i)  \veebar 1_{\{Y_{n+1}=i\}}$ ou $\veebar$ indique le "ou" exclusif).


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#3 08-05-2017 18:38:10

Nevtey
Invité

Re : Probabilité : loi d'un vecteur

Merci de votre réponse !

Tout d'abord pour la 2eme partie de votre indication , j'y ai répondu dans la question 1 lorsque l'on me demande le noyau de transition de la chaîne de Markov et j'ai trouvé :

P(X_n+1= j | X_n =k) = (1/2)*((N-k)/n) Indicatrice de j=k+1 , k appartenant à [0,N[ + (1/2)*(k/N) Indicatrice de j=k-1 , k appartenant à [0,N[ + 1/2 Indiactrice de j=k , k appartenant à [0,N]

Donc pour revenir à la question 2 , j'avais pensé au fait que
P[X_Ti = k ] = 1/2^N , cependant le Ti étant l'inf décrit dans la question cela me semblait étrange (si je ne me trompe pas en répondant à votre indication j'ai la loi de X_t et non X_Ti , c'est bien ca ? )

#4 09-05-2017 10:41:02

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Probabilité : loi d'un vecteur

Bonjour,
Il faudrait que tu fasses un effort pour écrire tes formules en Latex, c'est plus agréable pour les gens qui pourraient t'aider !
Donc, pour ta formule sur la matrice de transition, je n'ai pas tout compris. Disons que par rapport à la notation que j'avais utilisée au début $P(X_n = e)$, $e$ n'est pas un nombre, c'est un état (une étiquette si on veut), élément de $\{0,1\}^N$ alors que dans ta formule tu écris $P(X_n=k)$ avec $k \in \{1,\cdots N-1\}$.
Il faudra que tu raisonnes sur le nombre de particules, en introduisant par exemple une notation du type $|e|$ pour $\sum e_i$ (nombre de particules en $A$). Physiquement, la probabilité de transition ne vas pas dépendre de l'identité précise des particules qui sont dans le compartiment $A$ mais uniquement de leur nombre. D'ailleurs, dans beaucoup d'articles, en modélise l'état par le nombre de particules dans $A$ ou $B$ et non par un $N$-uplet donnant précisément quelle particule se trouve où.

Pour la deuxième partie de ta question, je ne suis pas sûr de comprendre. Je n'ai pas étudié la question 2/ de l'exercice. Mais en tout cas, je peux t'affirmer que $P(X_n = e) \neq \dfrac{1}{2^N}$ (tu peux raisonner par exemple en supposant que $X_0=0$ (aucune particule dans $A$), alors $X_1$ ne peut pas avoir une distribution uniforme sur tous les états possible. Il y aura au plus une particule dans $A$ à l'instant $1$).

Tu peux rechercher "modèle d'Ehrenfest", tu trouveras beaucoup d'articles qui traitent ce modèle, décrit par Kac comme probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique (ici, article succinct sur Wikipedia)


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#5 28-05-2017 20:44:33

Nevtey
Invité

Re : Probabilité : loi d'un vecteur

Merci , j'ai enfin trouvé la distribution stationnaire est tout simplement la distribution uniforme et pour le noyau de transition c'est :
c1c1caf771.png

avec des valeurs absolus autour de x_i et y_i et un 3eme cas : " 0 sinon"



je profite de ce topic au lieu d'en ouvrir un autrecar il ya encore 2 choses que je ne comprends pas

1) comment calculer la loi de X_Ti dans la question 2
2) comment calculer P(Xt=x) dans la question 5 ?

11699d7ce1.jpg

#6 29-05-2017 20:05:59

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : Probabilité : loi d'un vecteur

Bonsoir,
Je ne pense pas que ce que tu probabilité de transition soit correcte.
Ton $P(x,y)$ est indépendant de l'état $y$ alors qu'on voit bien que si un compartiment contient plus de boules que l'autre, on aura plus de chances de tomber sur une boule qu'il contient. Il te manque également un 4-ème cas. Si on note $|x|=\sum x_i$ (nombre de particules dans la boite $A$ dans l'état $x$), les cas atteignables sont un état $y$ tel que $|y|=|x|+1$, $|y|=|x|$ ou $|y|=|x|-1$, soit 4 cas (les atteignables et les autres).
Par exemple, pour passer d'un nombre de particules $n$ à $n-1$ dans l'urne $A$, la probabilité serait $\dfrac{n}{2N}$ (probabilité de choisir une particule dans $A$ $\times$ probabilité de choisir l'urne $A$), et pour $n$ à $n+1$, ce serait $\dfrac{N-n}{2N}$ ...

Pour $T_i$, il faut calculer la probabilité qu'on ne choisisse pas la particule $i$ de $T_1$ à $T_{i-1}$ puis qu'on la choisisse en $T_i$.
Pour $X_{T_i}$, je ne suis pas sûr, il faudrait peut être se ramener au cas à $N-1$ particules (conditionnellement à ne choisir $i$ qu'à l'instant $T_i$, ça revient à "enlever" une particule dans tous les instants de $T_1$ à $T_{i-1}$)


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